Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

Список аннотаций статей журнала "Математика и математическое моделирование"

Приложение

# 04, август 2016

 

Математическая модель теплопереноса в сферопластике
# 04, август 2016
DOI: 10.7463/mathm.0416.0

профессор Зарубин В. С., профессор Кувыркин Г. Н., Савельева И. Ю.

В данной работе построена четырехфазная математическая модель теплопереноса в представительном элементе структуры сферопластика, помещенном в неограниченный массив однородного материала, коэффициент теплопроводности которого подлежит определению в качестве искомой характеристики сферопластика. Эта модель в сочетании с двойственной вариационной формулировкой задачи стационарной теплопроводности в неоднородном твердом теле сначала использована для установления гарантированных двусторонних границ области параметров, в которой находятся истинные значения эффективного коэффициента теплопроводности сферопластика, а затем для получения расчетных зависимостей этого коэффициента от объемной концентрации микросфер. Проведен количественный анализ полученных расчетных зависимостей и определены значения их наибольшей возможной погрешности, позволяющие оценивать степень достоверности результатов прогноза эффективного коэффициента теплопроводности сферопластика.

 

# 03, июнь 2016

 

О квантовой лиевской нильпотентности ступени 2
# 03, июнь 2016
DOI: 10.7463/mathm.0316.0846913

Киреева Е. А.

Статья посвящена исследованию свободных алгебр многообразий ассоциативных алгебр, удовлетворяющих тождествам квантовой лиевской нильпотентности ступеней 1 и 2 .

 

 

Температурное состояние пластины с зависящими от температуры теплопроводностью и энерговыделением
# 03, июнь 2016
DOI: 10.7463/mathm.0316.0843802

профессор Зарубин В. С., Котович А. В., профессор Кувыркин Г. Н.

В обширной литературе по теории теплопроводности твердых тел приведены решения задач по определению стационарного (установившегося во времени) и нестационарного температурного состояния твердых тел (как правило, канонической формы), в которых действуют источники объемного энерговыделения. При этом в общем случае учитывается возможность изменения энерговыделения по объему тела, а при решении нестационарных задач и возможная зависимость этой величины от времени.
Однако в реальных условиях объемная мощность энерговыделения часто зависит и от локального значения температуры, причем такая зависимость может быть нелинейной. Например, интенсивность выделения или поглощения теплоты при химических реакциях пропорционально скорости их протекания, которая, в свою очередь, чувствительна к значению температуры, причем зависимость от температуры имеет экспоненциальный характер. Дополнительным фактором, усложняющим в таких случаях анализ температурного состояния твердого тела, является  зависимость от температуры и коэффициента теплопроводности материала этого тела, особенно в случае существенной неоднородности распределения в нем температуры. Учет влияния перечисленных факторов приводит к необходимости использовать методы математического моделирования,  позволяющие построить адекватную нелинейную математическую модель процесса теплопроводности в теле с объемным энерговыделением. Количественный анализ таких моделей требует, как правило, применения численных методов.

# 02, апрель 2016

 

К задаче о наклонной производной для уравнения Лаврентьева – Бицадзе в полуплоскости
# 02, апрель 2016
DOI:10.7463/mathm.0216.0843737

Алгазин О. Д., Копаев А. В.

 

Уравнение Лаврентьева – Бицадзе решается в полуплоскости. При этом областью эллиптичности также является полуплоскость, а областью гиперболичности – полоса. На одной из прямых, ограничивающих полосу, задана наклонная производная в направлении характеристики, а на другой прямой – границе раздела полосы и полуплоскости – решения сопрягаются краевыми условиями четвертого рода.

 

 

Аналитический расчет параметров потока в угловом теле при сверхзвуковых скоростях
# 02, апрель 2016
DOI:10.7463/mathm.0216.0843776

Котович А. В., Толмачев В. И.


Разработана методика аналитического расчета взаимодействия плоских скачков уплотнения в трёхмерных течениях. Расчет производится в плоскости нормальной линии пересечения скачков. Приводится анализ взаимодействия скачков уплотнения в угловом теле. Получены расчетные формулы для перехода от трёхмерного течения к двумерному и обратно. Разработанная методика позволяет анализировать взаимодействие трёхмерных скачков с плоскими поверхностями. Приводятся результаты расчета взаимодействия отраженного скачка уплотнения с поверхностью клина. Методика может быть использована при проектировании различных поверхностей летательных аппаратов, а также входных устройств летательных аппаратов больших скоростей.

 

 

Оптимальная толщина локально нагреваемого теплозащитного покрытия с зависящим от температуры коэффициентом теплопроводности
# 02, апрель 2016
DOI:10.7463/mathm.0216.0843758

профессор Зарубин В. С., Котович А. В., профессор Кувыркин Г. Н.

В работе построена математическая модель, описывающая процесс стационарной теплопроводности при локальном нагреве наружной поверхности теплозащитного покрытия на охлаждаемой плоской стенке. Коэффициент теплопроводности материала покрытия зависит от температуры, а тепловой контакт между покрытием и стенкой принят неидеальным. Количественный анализ математической модели сведен к решению краевой задачи для уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат. Полученное в аналитической форме решение задачи позволило установить область определяющих параметров, в которой путем изменения толщины покрытия с зависящим от температуры коэффициентом теплопроводности можно обеспечить минимально возможное значение температуры в наиболее нагретой точке этой поверхности. Установлено, что в случае идеального теплового контакта между покрытием и защищаемой конструкцией температура наиболее нагретой точки наружной поверхности покрытия монотонно возрастает с увеличением его толщины, т.е. отсутствует возможность подбора оптимальной толщины локально нагреваемого теплозащитного покрытия

# 01, февраль 2016

 

Математическое моделирование температурного состояния пространственных слоистых стержневых конструкций
# 01, февраль 2016
DOI: 10.7463/mathm.0116.0837776

Станкевич И. В.

 

В работе рассмотрены особенности конечно-элементной технологии численного решения нестационарных и нелинейных температурных задач применительно к слоистым стержневым конструкциям, имеющим сложное пространственное оформление. На основе данной технологии разработан комплекс прикладных программ, который позволяет решать широкий класс задач научного и прикладного характера; исследовать влияния различных конструктивных, технологических и эксплуатационных   факторов на температурное состояние слоистых стержневых конструкций. В качестве примера применения конечно-элементной технологии и возможностей созданного комплекса прикладных программ представлено решение нестационарной температурной задачи для слоистой стержневой конструкции  

Исследование неустойчивости Тейлора-Гертлера в струях с помощью кинетического подхода
# 01, февраль 2016
DOI: 10.7463/mathm.0116.0833621

Ровенская О. И., Аристов В. В., Фархутдинов Т. И.

 

С помощью прямого метода решения S-модельного кинетического уравнения Больцмана численно исследуются течения в сверхзвуковых нерасчетных струях. Алгоритм решения основан на явно-неявной схеме и для повышения эффективности распараллелен с помощью MPI (Message Passing Interface). Расчеты выполнены на суперкомпьютере MVS-100K. Изучается влияние геометрии отверстия и степени разреженности газа на механизм возникновения неустойчивости Тейлора-Гёртлера. Показано, что для течений при больших числах Кнудсена (малых числах Рейнольдса) неустойчивость не возникает. При переходе к закритическим режимам (малые числа Кнудсена) в поле течения возникает система продольных вихрей, соответствующая неустойчивости Тейлора-Гёртлера, что согласуется с теоретическим и опытным данными. Кроме того, при наличии дополнительного возмущающего фактора – шероховатости по периметру отверстия, обнаружена потеря поперечной симметрии струи вниз по потоку

 

# 06, декабрь 2015

 

 

Стохастические лапласиан и даламбертиан Леви и уравнения Максвелла
# 06, декабрь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0615.0822138

Волков Б. О.

 

Одна из основных причин интереса к лапласиану Леви и его аналогам таким, как даламбертиан Леви, заключается в связи этих операторов с калибровочными полями. Теорема, доказанная Л. Аккарди, П. Джибилиско и И.В. Воловичем (см. [5,6]) утверждает, что связность в расслоении над евклидовым пространством (над пространством Минковского) является решением уравнений Янга-Миллса тогда и тогда, когда соответствующий связности параллельный перенос является решением уравнения Лапласа для лапласиана Леви (уравнения Даламбера для даламбертиана Леви).
Для определения операторов типа Леви можно использовать два подхода, которые оба восходят к оригинальным работам П. Леви (см. [7]). Первый из них заключается в том, что лапласиан Леви (или даламбертиан Леви) определяется как интегральный функционал, порожденный специальным видом второй производной. Такой подход используется в работах [5,6], а также в работе [8] Р. Леандра и И.В. Воловича, где рассматривался стохастический лапласиан Леви. Другой подход к определению лапласиана Леви заключается в том, что лапласиан Леви задается как среднее Чезаро вторых производных вдоль семейства векторов, являющегося ортонормированным базисом в гильбертовом пространстве.

 

Решение терминальных задач для аффинных систем с векторным управлением на основе орбитальной линеаризации
# 06, декабрь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0615.0828643

Фетисов Д. А.

 
В настоящей статье рассматривается терминальная задача для стационарных многомерных аффинных систем в следующей постановке: даны два состояния, требуется найти такие управления и такой момент времени T, что соответствующая траектория системы соединяет эти состояния за время T. В системе выполняется интегрируемая замена независимой переменной, зависящая от управления. В результате система преобразуется к аффинной нестационарной системе размерности на единицу меньшей, чем у исходной системы. Для преобразованной системы рассматривается вспомогательная терминальная задача с ограничением на управления. Доказывается связь между решениями исходной терминальной задачи и терминальной задачи для преобразованной системы. Показывается, что для того чтобы решить исходную терминальную задачу, достаточно решить терминальную задачу для преобразованной системы. Если преобразованная система приводится к регулярному каноническому виду, то для решения терминальной задачи можно использовать концепцию обратных задач динамики. Благодаря наличию ограничения на управление в постановке задачи для преобразованной системы, необходима дополнительная проверка, удовлетворяет ли найденное управление этому ограничению.
Приводится пример решения терминальной задачи для аффинной системы пятого порядка с двумерным управлением. Доказывается, что рассматриваемая система не линеаризуется обратной связью ни на каком открытом множестве пространства состояний, тем не менее, система может быть преобразована к регулярному каноническому виду после замены независимой переменной, зависящей от управления. Строится решение терминальной задачи предложенным методом.

 

Достаточное условие управляемости аффинных систем с двумерным управлением и двумерной нулевой динамикой
# 06, декабрь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0615.0823117

Фетисов Д. А.

 

Условия управляемости для линейных стационарных систем хорошо известны: линейная стационарная система управляема тогда и только тогда, когда размерность вектора состояния в ней совпадает с рангом матрицы управляемости. Понятие матрицы управляемости обобщено на случай аффинных систем, но связь между управляемостью аффинных систем и свойствами этой матрицы гораздо сложнее. Для аффинных систем установлены  различные условия управляемости, но в них речь идет либо о системах специального вида, либо о так называемой локальной управляемости, т.е. об управляемости системы в некоторой окрестности заданной точки.
Известно, что аффинная система управляема, если она эквивалентна системе канонического вида, определенной и регулярной на всем пространстве состояний. В этом случае говорят, что система линеаризуема обратной связью в пространстве состояний. Тем не менее, примеры показывают, что система может быть управляемой и в случае, если она не линеаризуема обратной связью ни на каком открытом подмножестве пространства состояний. В данной работе рассматриваются именно такие системы. Предполагается, что управление в системе двумерно, а сама система эквивалентна системе квазиканонического вида с двумерной нулевой динамикой, определенной и регулярной на всем пространстве состояний. В этом случае управляемость исходной системы эквивалентна управляемости полученной системы квазиканонического вида. В настоящей работе доказано достаточное условие существования решения терминальной задачи для системы квазиканонического вида с двумерным управлением и двумерной нулевой динамикой. Доказанное условие не зависит от интервала времени, а также от начального и конечного состояний системы, поэтому тем самым установлено достаточное условие управляемости для систем квазиканонического вида с двумерным управлением и двумерной нулевой динамикой. Приведен пример аффинной системы шестого порядка, управляемость которой может быть доказана с помощью предложенного условия.
Полученные результаты могут использоваться для решения различных задач управления в теории динамических систем.

 

Математическое моделирование температурного состояния оболочки цилиндрической криогенной емкости при заполнении и опорожнении
# 06, декабрь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0615.0829350

профессор Зарубин В. С., Зимин В. Н., профессор Кувыркин Г. Н.

 

Жидкие кислород и водород находят применение в качестве окислителя и горючего для жидкостных ракетных двигателей. Сжиженный природный газ, основой которого является метан, рассматривается как перспективное моторное топливо для двигателей внутреннего сгорания. Одной из технических проблем, возникающих при использовании указанных криогенных жидкостей, является создание емкостей для их хранения, транспортировки и применения в двигательных установках. При проектировании и эксплуатации таких емкостей необходимо располагать достоверной информацией об их температурном состоянии, от которого зависят потери криогенных жидкостей за счет испарения и напряженно-деформированное состояние элементов конструкции емкостей.
Неравномерное распределение температуры вдоль образующей тонкостенной оболочки цилиндрического криогенного ракетного бака, локализованное в зоне уровня криогенной жидкости, приводит к искривлению оболочки и снижению допустимой осевой нагрузки, к возникновению опасности потери устойчивости оболочки при подготовке ракеты к старту и в полете с растущим ускорением. Перемещение уровня криогенной жидкости в процессе заполнения или опорожнения бака при определенном сочетании параметров приводит к увеличению локальной неравномерности распределения температуры.
Наряду с экспериментальным изучением температурного состояния оболочки криогенной емкости необходимая при проектировании и отработке конструкции криогенных баков информация может быть получена методами математического моделирования. В данной работе с учетом особенностей теплообмена в криогенной емкости, в том числе при кипении криогенной жидкости на внутренней поверхности этой емкости, построена математическая модель, описывающая температурное состояние тонкостенной оболочки цилиндрического криогенного бака при его заполнении и опорожнении и представлен количественный анализ этой модели для случаев неподвижного уровня жидкости, его перемещения с постоянной скоростью и гармонических колебаний относительно некоторого среднего положения. Количественный анализ этой модели позволил установить предельные варианты квазистационарного распределения температуры вдоль образующей оболочки в подвижной системе координат при возрастании скорости заполнения или опорожнения емкости. Решение методом интегрального преобразования Лапласа нестационарной задачи теплопроводности в подвижной системе координат для несмоченной части оболочки емкости использовано для оценки времени установления квазистационарного распределения температуры в этой части оболочки.

 

Численное сравнение решений кинетических модельных уравнений
# 06, декабрь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0615.0823537

Фролова А. А.

 

Аппроксимация интеграла столкновений различными модельными операторами соз-дало целое направление в теории разреженного газа. Одной из широко используемых мо-делей является модель Шахова (S-модель), полученная разложением в ряд интеграла об-ратных столкновений по полиномам Эрмита до третьего порядка. Использование этого же разложения c другим значением свободного параметра приводит к линеаризованной эллипсоидальной статистической модели (ESL).
Оба модельных уравнения (S и ESL) обладают одинаковыми свойствами, так как да-ют правильные скорости релаксации компонент тензора неравновесных напряжений и вектора теплового потока, правильное число Прандтля при переходе к гидродинамиче-скому режиму и не гарантируют положительность функции распределения.
В статье проводится численное сравнение решений модельного уравнения Шахова, ESL- модели и полного уравнения Больцмана на примере четырех задач распада разрыва для молекул твердых сфер.
Рассматриваются задача разлета потоков газа, контактных разрыв, задача о встречных потоках и задача о структуре ударной волны.
Проведенное сравнение показывает, что для задачи разлета газов чувствительность решения к форме интегрального члена слабая и решения модельных уравнений совпадает с решением уравнения Больцмана.
В задаче о контактном разрыве модельные уравнения дают отличие от полного кине-тического решения в области первоначального разрыва. Максимальную ошибку имеет тензор неравновесных напряжений, ошибка теплового потока значительно меньше, при этом ESL - модель дает точное значение экстремума теплового потока.
В задаче о встречных потоках газа и в задаче о структуре ударной волны модельные уравнения дают значительное искажение профилей теплового потока и компоненты тен-зора неравновесных напряжений перед фронтом ударных волн. Такое поведение решений есть следствие отсутствия зависимости частоты столкновений от скорости в рассматри-ваемых моделях.
Как показывают расчеты, ESL-модель описывает более правильно неравновесные об-ласти течения, но дает большее отклонение от решения уравнения Больцмана, чем модель Шахова перед фронтом ударной волны.

 

# 05, октябрь 2015

 

 

Стохастическая дивергенция Леви и уравнения Максвелла
# 05, октябрь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0515.0820322

Волков Б. О.

 

В статье по аналогии с лапласианом Леви введена стохастическая дивергенция Леви и изучена ее связь с уравнениями Максвелла (коммутативным случаем уравнений Янга — Миллса) на евклидовом пространстве и пространстве Минковского.
Одна из основных причин интереса к дифференциальным операторам типа Леви — это их связь с калибровочными полями. Доказано [7,8], что связность в тривиальном векторном расслоении, базой которого является евклидово пространство или пространство Минковского, является решением уравнений Янга — Миллса тогда и только тогда, когда порожденный связностью параллельный перенос является решением уравнения Лапласа для Лапласиана Леви или уравнения Даламбера для Даламбертиана Леви соответственно. В [9] был введен стохастический лапласиан Леви, при этом было найдено его значение на стохастическом параллельном переносе. В указанных выше работах лапласиан Леви определялся как интегральный функционал, порожденный специальным видом второй производной.
Существует другой подход к определению лапласиана Леви, основанный на чезаровском усреднении частных производных. В рамках этого подхода Лапласиан Леви можно определить как бесконечномерный лапласиан, порожденный следом Леви (след Леви равен среднему Чезаро диагональных элементов), а дивергенцию Леви можно определить как бесконечномерную дивергенцию, порожденную этим же следом. Стохастическая дивергенция Леви определяется по аналогии как оператор, действующий на пространстве непрерывных линейных операторов из пространства Камерона — Мартина (пространства дифференцируемости) меры Винера в некоторое соболевское пространство над этой мерой. В статье выводится бесконечномерное уравнение, содержащее указанную дивергенцию, при этом уравнение таково, что стохастический параллельный перенос является решением этого уравнения тогда и только тогда, когда соответствующая связность является решением уравнений Максвелла. Полученное уравнение является бесконечномерным аналогом уравнения движения кирального поля. В работе также показано, что значение функционала действия Максвелла на связности (векторе-потенциале) совпадает со значением бесконечномерного аналога функционала Дирихле для киральных полей на порожденном связностью стохастическом параллельном переносе. Этот аналог функционала Дирихле получен с помощью чезаровского усреднения.

 

Исследование динамической системы взаимосвязанных осцилляторов Рёсслера
# 05, октябрь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0515.0816614

Стырт О. Г.

 

В работе изучается динамическая система взаимосвязанных осцилляторов Рёсслера, рассматриваемая ранее на предмет затухания осцилляторов. Имеется два вида затуханий: однородная устойчивая стадия и неоднородная устойчивая стадия. Переход из первой во вторую может повлечь болезнь в биологической структуре, дефект в единой энергосистеме, а также использоваться для предотвращения распространения эпидемий.
Исследование системы осцилляторов Рёсслера проведено в двух направлениях: нахождение положений равновесия и локализация инвариантных компактов.
Положения равновесия найдены для систем не более двух осцилляторов. В частности, система, состоящая из одного осциллятора, имеет, в зависимости от значений параметров, либо одно, либо два, либо бесконечно много положений равновесия, причём в последнем случае положения равновесия образуют прямую в трёхмерном пространстве. Множество положений равновесия системы двух осцилляторов также явно описано; его структура в ещё большей степени зависит от значений параметров.
Для локализации инвариантных компактов применён метод, связанный с построением локализирующей функции. Как известно, её значения на любом инвариантном компакте ограничены сверху и снизу соответственно точной верхней и нижней гранью её значений на множестве нулей её градиента. С помощью данного метода получено локализирующее множество, являющееся пересечением семейства замкнутых подмножеств, каждое из которых ограничено некоторой параболической поверхностью и расположено с внешней стороны от неё. Приведена иллюстрация этого локализирующего множества для одного конкретного набора значений параметров.

 

Прогрессивное цензурирование - аналог критерия Реньи для проверки модели Кокса
# 05, октябрь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0515.0816640

Тянникова Н. Д.

 

В теории надежности одной из распространенных задач является задача проверки гипотезы Кокса. Данная работа посвящена решению этой задачи в случае двух прогрессивно цензурированных выборок. Одной из особенностей является использование статистики типа Реньи, которая позволяет проверять модель Кокса в случае, когда испытания прекращаются до момента отказа всех изделий.
Пусть на испытания ставятся
n1 систем первого типа, состоящих из m1 последовательно соединенных однотипных элементов и n2 систем второго типа, каждая из которых состоит из m2 аналогичных элементов. Ввиду того, что системы являются последовательно соединенными, то степенная гипотеза проверяется по наработкам не самих элементов, а по наработкам систем. Выборка из наработок систем рассматривается как прогрессивно цензурированная выборка из наработок элементов соответствующего типа. Таким образом, при отказе систем цензурируютя наработки неотказавших элементов.
Для проверки гипотезы пропорциональности интенсивностей отказов для двух типов предлагается критерий типа Реньи. Функции надежности элементов для каждой из двух выборок оцениваются при помощи оценок Каплана-Мейера. В работе показана асимптотическая сходимость  распределения предлагаемой статистики к стандартному распределению Реньи. Ввиду медленной сходимости к предельным распределениям, предложен метод вычисления точных распределений статистики типа Реньи, предназначенной для проверки гипотезы Кокса для двух прогрессивно цензурированных выборок. Предлагаемый метод основан на модели случайного блуждания по двумерному массиву ячеек, описанной в предыдущих работах автора. Рассчитаны таблицы значений вероятностей точных распределений предложенной статистики типа Реньи для широкого круга значений
n1 , n2 .
В работе предложен метод оценки параметра модели Кокса  в случае её справедливости. В качестве оценки предложено значение параметра, минимизирующее предлагаемую статистику критерия.

 

 

Односторонние функции и композиция проблем сопряжённости и дискретного логарифмирования в C(3)-T(6)-группах
# 05, октябрь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0515.0820675

Безверхний Н. В.

 

В данной работе рассматривается возможность построения односторонней функции в группах с условиями C(3)-T(6). При этом используются следующие алгоритмы.  Алгоритм, решающий проблему вхождения в циклическую подгруппу, известную также как проблема дискретного логарифмирования, и алгоритм, решающий проблему равенства слов в данном классе групп.
Исследование проводится с использованием геометрических методов комбинаторной теории групп (метода диаграмм над группами).
При обмене информацией по открытому каналу используют односторонние функции, прямое вычисление которых должно быть гораздо менее сложным, чем вычисление обратной функции. В данной работе рассмотрена комбинация двух проблем: дискретного логарифмирования и сопряжённости. Это привело к задаче сопряжённого вхождения в циклическую подгруппу. В работе предлагается алгоритм, основанный на этой задаче, который можно брать за основу при исследовании соответствующей односторонней функции на пригодность для построения открытой схемы распределения ключей.
В ходе исследования использовались кольцевые диаграммы сопряжённости слов, и для одного специального класса таких диаграмм было доказано свойство периодичности по слоям.  Наличие такого свойства очевидным образом приводит к решению проблемы степенной сопряжённости слов в рассматриваемом классе групп. К сожалению, в этой работе не удалось доказать периодичность произвольной кольцевой диаграммы, но для одного класса из двух возможных эта периодичность была доказана.
Рассмотренная в работе процедура построения односторонней функции была изучена с точки зрения возможности вычисления как прямого, так и обратного отображений. Сложность этих вычислений не рассматривалась. Таким образом, остались нерешёнными две следующие задачи: определение качества односторонней функции в рассмотренном протоколе открытого распределения ключей и завершение исследования периодичности кольцевых диаграмм сопряжённости слов, приводящее к положительному решению проблемы степенной сопряжённости слов в рассматриваемом классе групп.

 

 

 

Математическое моделирование диэлектрических характеристик композита с металлическими ленточными включениями
# 05, октябрь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0515.0815604

профессор Зарубин В. С., профессор Кувыркин Г. Н., Савельева И. Ю.

 

Среди свойств, которыми должны обладать функциональные материалы, используемые в различных  электротехнических и радиофизических  устройствах и приборах, важное место занимают  диэлектрические характеристики, в том числе относительная диэлектрическая проницаемость (далее для краткости слово "относительная" опущено). Предъявляемые требования к уровню диэлектрической проницаемости могут быть выполнены, если в качестве функционального  материала использовать композит с определенным сочетанием характеристик его матрицы и  включений [1 - 3]. Применение металлических включений расширяет диапазон изменения диэлектрических характеристик композита и тем самым расширяет возможности его применения. Существенное влияние на диэлектрическую проницаемость композита оказывают также его структура, форма включений и их объемная концентрация.
Одним из вариантов структуры композита является дисперсная система, когда в дисперсионной  среде (в данном случае - в матрице композита) распределена дисперсная фаза (включения) с сильно развитой поверхностью раздела между ними [4]. Форма дисперсных включений может быть  различной. Одной из возможных форм включения является ленточная, когда его размеры в трех  ортогональных направлениях существенно различны между собой. Для такого включения в  качестве приемлемой геометрической модели, описывающей его форму, можно принять трехосный  эллипсоид. Эта модель может быть использована, в частности, и для описания формы некоторых наноструктурных элементов, которые в последнее время рассматривают как включения  для перспективных композитов различного назначения [5].
При увеличении в композите с диэлектрической матрицей объемной концентрации металлических включений возрастает вероятность непосредственного контакта между включениями, приводящего  к образованию непрерывного проводящего кластера [3, 6]. В данной работе принято, что металлические ленточные включения покрыты достаточно тонким слоем электроизолирующего материала, что исключает возможность их непосредственного контакта и позволяет не рассматривать проявление так называемого эффекта перколяции~[2,,7] во всем промежутке  предполагаемого изменения объемной концентрации таких электроизолированных эллипсоидальных   включений. В структурной модели композита эти включения заменены однородными эллипсоидальными включениями с эквивалентными анизотропными диэлектрическими характеристиками, что при упорядоченном расположении включений приводит к анизотропии эффективных диэлектрических характеристик композита в целом. 
Известны различные подходы [1, 8- 10] к построению математических моделей, позволяющих построить расчетные зависимости для определения диэлектрических характеристик композитов с включениями различной формы.  При построении таких моделей возникает возможность применения аналогии между формулировками и решениями задач электростатики и установившейся теплопроводности [11 - 14]. Использование вариационных подходов [15 - 17] к оценке  эффективных диэлектрических характеристик композита дает возможность получить двусторонние границы, между которыми заключены их истинные значения, и оценить наибольшую возможную      погрешность, возникающую при использовании той или иной математической модели. Такие  границы можно установить на основе двойственной вариационной формулировки задачи для потенциального поля в неоднородном твердом теле [18]. Эта формулировка содержит  два альтернативных функционала (минимизируемый и максимизируемый), принимающих на истинном   решении задачи одинаковые экстремальные значения.

 

 

Математическое моделирование контактных задач теории упругости с непрерывным односторонним контактом
# 05, октябрь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0515.0812348

Станкевич И. В.

С. 83-96

 

В работе [1] приведена постановка и численное решение задачи одностороннего дискретного контактного взаимодействия упругого тела и абсолютно жесткого полупространства. Однако многие детали и узлы машиностроительных конструкций имеют выраженный непрерывный контакт в пределах некоторой заданной поверхности [2, 3]. В данной работе рассматривается частный случай такого варианта контактного взаимодействия, когда нагруженное внешними силами упругое тело конечных размеров опирается на абсолютно жесткое полупространство. Контакт происходит по выделенной контактной поверхности, которая в общем случае может менять свои размеры.
Разработанный для решения этой задачи численный алгоритм является дальнейшей адаптацией и развитием подходов, изложенных в работе [1]. Представлены результаты решения модельной задачи теории упругости без учета и с учетом трения. В последнем случае дополнительно были получены численные данные, характеризующие сходимость решения.

 

# 04, август 2015

 

 

О линейной независимости некоторых функций над полем рациональных дробей
# 04, август 2015
DOI: 10.7463/mathm.0415.0817328

Иванков П. Л.

 

В 1955 г. были опубликованы общие теоремы А.Б. Шидловского, которые позволяют свести проблему алгебраической независимости значений аналитических функций одного класса к более простой задаче алгебраической независимости этих функций. Т. к. обобщенные гипергеометрические функции с рациональными параметрами являются функциями, к которым применимы упомянутые общие теоремы, то появилось много работ, в которых устанавливалась алгебраическая независимость таких функций (и их производных). Результаты А.Б. Шидловского обобщают и развивают известный в теории трансцендентных чисел метод Зигеля. Кроме метода Зигеля для решения задач об арифметической природе значений аналитических функций используются также методы, основанные на эффективном построении линейных приближающих форм. С помощью таких методов были получены наиболее точные оценки линейных форм и были установлены многочисленные результаты, касающиеся арифметических свойств значений гипергеометрических функций с иррациональными параметрами. Это показывает, что эффективные методы имеют определенное значение для развития теории трансцендентных чисел.
В последнее время в связи с исследованием арифметических свойств значений продифференцированных по параметру гипергеометрических функций потребовались результаты о линейной независимости таких функций над полем рациональных дробей. Подобные исследования проводились и раньше в связи с приложениями общих теорем А.Б. Шидловского, однако, поскольку при этом решалась более трудная задача об алгебраической независимости, приходилось рассматривать функции весьма частного вида.  В настоящей работе изучается линейная независимость гипергеометрических функций, продифференцированных по параметру, причем этот параметр входит как в числитель, так и в знаменатель общего члена соответствующего степенного ряда. Установлено условие (в некоторых случаях являющееся необходимым и достаточным) линейной независимости таких функций, которое весьма удобно для проверки в конкретных случаях. Результаты статьи получены с помощью вычисления некоторых определителей, которые естественным образом возникают в связи с рассматриваемыми задачами. В дальнейшем доказанные в настоящей работе теоремы можно будет использовать для получения различных утверждений об арифметической природе значений соответствующих функций.

 

Классификация и конструирование обобщенных обратимых дифференциальных операторов с одной независимой переменной
# 04, август 2015
DOI: 10.7463/mathm.0415.0812952

Четвериков В. Н.

 

Обратимые линейные дифференциальные операторы с одной независимой переменной исследуются. Проблема описания таких операторов важна, потому что она связана с преобразованиями систем управления. А именно, C-преобразованиями называются обратимые преобразования, при которых переменные одной системы выражаются через переменные и производные зависимых переменных по независимым второй системы. Отсутствие удобного описания C-преобразований не позволяет развивать теорию их применения. C-Преобразования линейных систем представляют собой обратимые линейные дифференциальные операторы. В случае нелинейных систем линеаризации C-преобразований интерпретируются как обратимые линейные дифференциальные операторы. Поэтому исследования обратимых линейных дифференциальных операторов следует рассматривать как первый шаг к описанию C-преобразований как линейных, так и нелинейных систем.
Данная работа является второй работой, посвященной описанию обратимых линейных дифференциальных операторов с одной независимой переменной и их обобщений. В первой работе каждому обратимому линейному дифференциальному оператору была сопоставлена таблица чисел. Эти таблицы были описаны на наглядном элементарно-геометрическом языке. Таким образом, обратимому оператору была поставлена в соответствие элементарно-геометрическая модель, которая была названа d-схемой. Обратимые линейные дифференциальные операторы классифицируются d-схемами.
Обратимый оператор определяется своей таблицей неоднозначно. В предыдущей работе было показано, как построить обратимый дифференциальный оператор для заданной d-схемы и какие математические структуры должны быть для этого введены. Однако описание всех обратимых операторов с данной d-схемой там не было получено.
В данной работе получено полное описание всех обратимых линейных дифференциальных операторов с данной d-схемой. Кроме того, этот результат и результаты первой статьи обобщены на обратимые отображения фильтрованных модулей, порожденных одним дифференцированием. К таким отображениям относятся, в частности, линеаризации C-преобразований систем с управлением и отображения, определенные унимодулярными матрицами.
Результаты данной статьи могут быть использованы для описания C-преобразований систем управления и классификации таких систем.

 

Решение задачи Дирихле для уравнения Пуассона в многомерном бесконечном слое
# 04, август 2015
DOI: 10.7463/mathm.0415.0812943

Алгазин О. Д., Копаев А. В.

 

В работе рассмотрено многомерное уравнение Пуассона в области, ограниченной двумя параллельными гиперплоскостями (в многомерном бесконечном слое). Для n-мерного полупространства основным методом решения краевых задач для линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами является преобразование Фурье по переменным в граничной гиперплоскости. Этот же метод применим и для бесконечного слоя, что и сделано в данной работе в случае задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Для полосы и бесконечного слоя в трёхмерном пространстве решения этой задачи известны. Причем в трехмерном случае функция Грина записывается в виде бесконечного ряда. В настоящей работе решение получено в интегральной форме и ядра интегралов выражены в конечном виде через элементарные функции и функции Бесселя. При этом получено рекуррентное соотношение, связывающее ядра интегралов для n-мерного и (n+2)-мерного слоев. В частности построена функция Грина оператора Лапласа для задачи Дирихле, через которую записывается решение задачи. Уже для трехмерного случая получены новые формулы по сравнению с известными. Показано, что ядра интегрального представления решения задачи Дирихле для однородного уравнения Пуассона (уравнения Лапласа) являются аппроксимативными единицами (δ-образными системами функций). Поэтому если заданные граничные значения являются обобщенными функциями медленного роста, решение задачи Дирихле для однородного уравнения (Лапласа) записывается в виде свертки ядер с этими функциями.

 

Локализация инвариантных компактов системы Lorenz-84
# 04, август 2015
DOI: 10.7463/mathm.0415.0812317

Рамазанова Х. М.

 

Локализация инвариантных компактных множеств динамической системы является одним из способов качественного анализа динамической системы. Задачи локализации направлены на оценку положения инвариантных компактов систем, к которым относятся положения равновесия, периодические траектории, аттракторы и репеллеры, инвариантные торы. Такие множества и их свойства во многом определяют структуру фазового портрета системы. Для данной цели можно использовать локализирующие множества, т.е.  множества в фазовом пространстве системы, содержащие все ее инвариантные компакты.
В данной статье рассматривается задача локализации инвариантных компактов автономного варианта системы Lorenz-84. Система  представляет собой простейшую модель общей циркуляции атмосферы в средних широтах. Модель  использовалась в различных климатологических исследованиях. Для построения локализирующего множества системы применен так называемый функциональный метод локализации. В статье изложены основные положения данного метода, перечислены основные свойства локализирующих множеств. Проанализирован простейший вариант системы Lorenz-84, когда отсутствуют термические нагрузки, и исследован общий вариант автономной системы Lorenz-84,  в которой при некоторых значениях параметров системы возникает хаотическая динамика. В первом случае показано, что единственным инвариантным компактом системы является ее положение равновесия, а локализирующая функция оказалась функцией Ляпунова системы. Для общего варианта системы построено семейство локализирующих множеств и описано пересечение этого семейства. Приведена графическая иллюстрация для локализирующего  множества при фиксированных значениях параметров. Результат исследования частично перекрывается с результатом работы Старкова К. Е. по данной тематике, но дает дополнительную информацию.
Тема локализации инвариантных компактов в литературе обсуждается достаточно активно. Исследования направлены как на развитие метода и его использование для динамических систем других классов, так и на исследование конкретных динамических систем.

 

Метод бесконтактной оценки паттерна дыхания человека при помощи стереопары
# 04, август 2015
DOI: 10.7463/mathm.0415.0813373

Гнатюк В. С., Анищенко Л. Н.

 

Разработка бесконтактных методов мониторинга различных жизненных параметров человека является важной задачей современной медицины. Особую актуальность данный вопрос приобретает при контроле состояния пациента на дому самостоятельно, например, с целью оценки параметров дыхания во сне, оценки его качества и выявления различного рода нарушений сна, например, синдрома апноэ сна - состояния, для которого характерно прекращение легочной вентиляции более чем на 10 секунд и падение насыщения крови кислородом.
В данной работе был реализован и протестирован алгоритм для бесконтактного мониторинга паттерна дыхания с помощью двух жестко закрепленных веб-камер, направленных на человека. Алгоритм базируется на применении методов компьютерного зрения и обработки видеопоследовательностей.
Особое внимание уделено подходам построению карты диспаратности и улучшения соотношения сигнал/шум при помощи комбинации известных функций сравнения интенсивности пикселей: AD - функции абсолютных разностей, и функции Census, сравнивающей битовые строки исследуемых регионов изображения.
Существенную роль в минимизации шума играет метод  агрегации, суть которого заключается в том, что пиксели, имеющие схожую интенсивность, признаются принадлежащим одним и тем же структурам на изображении, а значит, имеют схожую диспаратность. Вариабельность входных параметров данного метода и возможность регулировки количества итераций позволяют получить точные карты диспаратности для входных изображений практически любого качества. Тестирование проводилось для веб-камер CBR CW 833M.
Основным результатом исследования является выделенный на основе восстановленных карт глубины дыхательный профиль, отражающий интенсивность дыхания исследуемого человека и представляющий данные об амплитуде отклонений его грудной клетки.
Главным отличием предложенного метода от других является более высокая точность и расчет профиля дыхания в режиме реального времени. Режима реального времени удалось достигнуть при помощи технологии OpenCL и распараллеливании вычислений на графической видеокарте.
 Алгоритм был протестирован на испытуемых с различными антропоморфными характеристиками и типами дыхания с целью исследования ограничений применений предложенного метода на практике.

 

Получение законов распределения оценок параметров модели популяционной системы численными методами
# 04, август 2015
DOI: 10.7463/mathm.0415.0812686

Штраус Е. Ю., Ткачев С. Б., Волков И. К.

 

Для нелинейной динамической модели клеточной популяционной системы, развивающейся в лабораторных условиях (in vitro) и включающей два вида клеток, рассматривается задача определения маргинальных законов распределения оценок параметров модели. Базовые оценки параметров получаются по ограниченной единственной выборке экспериментальных данных. Из эксперимента получают значения численностей популяций каждого вида клеток через равные промежутки времени. В работе предлагается методика определения маргинальных законов распределения оценок параметров методами численного моделирования. Эта методика включает идентификацию параметров нелинейной модели и проверку адекватности полученной модели с найденными базовыми оценками параметров, идентификацию начальных данных и определение опорной траектории. Начальные данные для опорной траектории находятся с использованием метода наименьших квадратов. При этом минимизируется отклонение от экспериментальной траектории. С использованием опорной траектории и датчика нормально распределенных случайных чисел генерируются наборы данных об измеренных численностях популяций в заданные моменты времени. Для каждого такого набора решается задача получения оценок параметров системы. По рассчитанному набору оценок параметров проводится проверка гипотезы о виде маргинального закона распределения каждого из параметров. Для проверки гипотезы используется критерий Колмогорова. Приведено описание численного примера. Полученные маргинальные законы распределения оценок параметров могут быть в дальнейшем использованы для оценки вероятностей реализации различных сценариев развития популяционной системы.

 

 

 

Математическое моделирование задач теории упругости с односторонним дискретным контактом
# 04, август 2015
DOI: 10.7463/mathm.0415.0801840

Станкевич И. В.

 

Разработка и эксплуатация объектов современной техники и новейшей технологии требуют надежной оценки прочностных характеристик ответственных элементов конструкций и технологического оборудования, находящихся в условиях воздействия высокоинтенсивного термомеханического нагружения, сопровождаемого, как правило, сложным контактным взаимодействием. Математическое моделирование напряженно-деформированного состояния таких деталей и узлов в зонах контакта, базирующееся на адекватных математических моделях, современных численных методах и эффективных прикладных алгоритмах, реализующих непосредственное определение собственно самих полей перемещений, деформации и напряжений, является основным инструментом, обеспечивающим оперативное получение требуемых данных для расчетов на прочность и долговечность.
В работе рассмотрен алгоритм построения численного решения контактной задачи теории упругости применительно к телу, которое имеет выраженное одностороннее дискретное контактное взаимодействие с абсолютно упругим полупространством. Особенностью рассматриваемого алгоритма является специально разработанная процедура коррекции касательных сил в дискретных контактных точках, позволяющая добиться достаточно точного выполнения принятого закона трения. Алгоритм встроен в общую конечно-элементную технологию, с помощью которой создана прикладная программа.
Выполненные численные исследования дискретного одностороннего контактного взаимодействия упругой пластинки и абсолютно жесткого полупространства показали достаточно высокую эффективность разработанного алгоритма и, реализующего его, программного кода.

 

# 03, июнь 2015

 

Качественный анализ системы лоренцевского типа
# 03, июнь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0315.0789497

Абрамченко А. А., Канатников А. Н.

 

В современном естествознании важную роль играет понятие динамической системы, представляющей собой распространенный тип математических моделей. Динамические системы редко сводятся к простым функциональным зависимостям. Поэтому важную роль играют методы качественного анализа динамических систем. Остановимся на простейшем типе динамических систем — непрерывных динамических системах, которые описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений.
Качественный анализ систем дифференциальных уравнений, как правило, начинается с поиска положений равновесия и исследования поведения системы в окрестности каждого положения равновесия. Основное внимание уделяется вопросам устойчивости положений равновесия, а также вопросам их классификации по типу поведения. Мощные инструменты качественного анализа систем дифференциальных уравнений предоставляет теория бифуркаций, в которой исследуются качественные изменения поведения системы при изменении ее параметров.
В поведении динамических систем, помимо положений равновесия, играют важную роль другие ограниченные траектории (например, предельные циклы или сепаратрисы), а также определенные их конгломераты (например, аттракторы, инвариантные торы). Исследование ограниченных траекторий и, в частности, аттракторов — трудная задача, изучению которой посвящено масса публикаций.
В данной работе исследуется одна непрерывная система лоренцевского типа. Для этой системы определены все положения равновесия и проведен анализ типов положений равновесия в зависимости от параметров системы. Проведен анализ некоторых бифуркаций положений равновесия. В частности, выявлена бифуркация Андронова— Хопфа и показано, что эта бифуркация приводит к рождению предельных циклов.

 

Анализ влияния частоты спонтанной анеуплоидии на развитие клеточной популяционной системы
# 03, июнь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0315.0811443

Нефедов Г. А., Ткачев С. Б.

 

Проводится качественный анализ предложенной Виноградовой М.С. нелинейной модели динамики клеточной популяционной системы, описывающей развитие стволовых клеток в лабораторных условиях при наличии ограничений на ресурсы.  Система состоит из двух популяций --- популяции нормальных и популяции аномальных клеток. Ограничения на ресурсы учитываются в виде линейных зависимостей параметров митоза от нормированных численностей каждой из популяций.
 Одним из ключевых параметров, влияющих на реализацию сценария развития системы, является параметр, определяющий долю нормальных клеток, переходящих при делении в популяцию аномальных клеток. Проведен  анализ условий существования точек покоя, а также анализ изменения сценариев развития популяционной системы при изменении указанного параметра и фиксированных остальных параметрах системы.  Показано наличие в системе седло-узловой бифуркации, найдено бифуркационное значение параметра. Указан интервал значений параметра, при котором реализуются благоприятные сценарии развития популяционной системыю Приведены результаты математического моделирования.

 

О стабилизации аффинных систем второго порядка при наличии возмущений
# 03, июнь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0315.0789645

Кавинов А. В.

 

Для задачи стабилизации динамических систем при наличии возмущений известны различные варианты постановки и различные пути решения. Применительно к нелинейным системам большую роль играют способы, основанные на использовании функций Ляпунова. При использовании этих способов возникает проблема поиска соответствующей функции Ляпунова. Метод переконструирования функций Ляпунова позволяет получить функцию Ляпунова для некоторого подкласса аффинных стационарных систем с возмущениями при помощи нахождения преобразования, приводящего соответствующую аффинную систему без возмущения к эквивалентному регулярному каноническому виду. Искомая функция Ляпунова при этом строится как квадратичная форма от канонических переменных. В дальнейшем найденная функция Ляпунова может быть использована для построения управления, глобально асимптотически стабилизирующего систему при наличии возмущений. Границы применимости такого подхода остаются неясными: в общем случае построенная на основании преобразования к эквивалентному каноническому виду функция Ляпунова для системы без возмущений может как являться, так и не являться функцией Ляпунова для аффинной системы с возмущением.
В статье исследуется вопрос о возможности применения описанного подхода к аффинным стационарным системам второго порядка со скалярным управлением и скалярным возмущением, для которых соответствующие системы без возмущений эквивалентны регулярным системам канонического вида на всём пространстве состояний. Получены легко проверяемые условия того, что построенная на основании регулярного канонического вида функция Ляпунова для системы с управлением будет функцией Ляпунова для системы с возмущениями; таким образом, очерчен класс систем, для которых возможна стабилизация при помощи изложенного способа. Приведены примеры применения полученных условий к некоторым классам аффинных стационарных систем второго порядка и результаты численного моделирования процесса стабилизации нулевого положения равновесия при наличии различных возмущений для конкретной двумерной аффинной системы с возмущениями.

 

Анализ модели развития раковой опухоли и построение схем антиангиогенной терапии на начальной стадии
# 03, июнь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0315.0790877

Мухоморова О. Ю., Крищенко А. П.

 

В работе проводится исследование модели раковой опухоли. Анализ развития заболевания при лечении и без него позволит построить схему лечения в случае ее раннего диагностирования. Для качественного анализа свойств модели были исследованы две связанные с ней двумерные системы. Одна из них определяет развитие раковой опухоли при отсутствии лечения. Ее исследование позволило проследить динамику развития болезни и определить размер опухоли при котором наступает летальный исход. Вторая система определяет развитие раковой опухоли при постоянной концентрации ингибитора (при лечении постоянными дозами лекарства). Исследование этой системы показало, что такого лечения недостаточно для поддержания пациента в безопасном состоянии и необходимо построение некоторой более сложной схемы лечения. При построении новых схем лечения использован метод решения терминальных задач. В результате найдены две схемы --- одноэтапная и многоэтапная, и проанализированы их свойства. Рассмотренная в работе терапия является промежуточным этапом при борьбе с заболеванием. Дальнейшее лечение, целью которого является уничтожение раковых клеток, может быть продолжено другим антиангиогенным методом. Компьютерное моделирование переходных процессов в рассматриваемых системах динамики развития раковой опухоли проведено в среде MATLAB.

 

 

Математическое моделирование электропроводности диэлектрика с дисперсными металлическими включениями
# 03, июнь 2015
DOI: 10.7463/mathm.0315.0793596

профессор Зарубин В. С., профессор Кувыркин Г. Н., профессор Пугачёв О. В.

 

Вследствие значительного разнообразия свойств композиты находят широкое применение в технике как конструкционные и теплозащитные материалы, так и в виде функциональных материалов, в том числе диэлектриков, используемых в различных электротехнических приборах и устройствах. Для композита, применяемого в качестве диэлектрика, основными функциональными характеристиками являются относительная диэлектрическая проницаемость и тангенс угла диэлектрических потерь. На количественный уровень этих характеристик влияют, главным образом, свойства матрицы композита и включений, а также их форма и объемная концентрация. Размещение в диэлектрике, выполняющем функции матрицы композита, металлических включений приводит к расширению диапазона электрических свойств такого композита, в частности, в направлении увеличения его диэлектрической проницаемости и тангенса угла диэлектрических потерь и тем самым существенно расширяет область его применения. Диэлектрические потери определяет мнимая часть комплексной величины относительной диэлектрической проницаемости диэлектрика, при сравнительно невысокой частоте колебаний воздействующего на диэлектрик электромагнитного поля пропорциональная электрической проводимости диэлектрика и обратно пропорциональная частоте. Для прогнозирования ожидаемых значений электрической проводимости диэлектрика с металлическими включениями необходимо располагать математической моделью, адекватно описывающей структуру композита и электрическое взаимодействие его матрицы и включений.
В работе построена математическая модель, описывающая электрическое взаимодействие представительного элемента структуры композита и однородной изотропной среды с электрической проводимостью, которая является искомой характеристикой этого композита. Принята шаровая форма металлического включения как средняя статистическая форма дисперсных включений, имеющих сопоставимые размеры во всех направлениях. Включение покрыто шаровым слоем электроизоляции, позволяющем избежать проявления эффекта перколяции при увеличении объемной концентрации включений. Внешний шаровой слой представительного элемента структуры композита состоит из диэлектрического материала матрицы.
Количественный анализ двусторонних оценок возможных значений электрической проводимости композита, построенных с использованием двойствиенной вариационной формулировки задачи электрокинетики для неоднородного твердого тела, показал, что для реальных сочетаний материалов диэлектрической матрицы и металлических включений, когда их электрические проводимости могут отличаться более чем на 10 порядков, эти оценки приводят к весьма широкому диапазону возможного изменения указанной характеристики композита. Поэтому для получения рабочей расчетной зависимости проведено непосредственное решение сформулированной задачи электрокинетики для представительного элемента структуры композита в предположении идеальной проводимости металлического включения. Показано, что эта зависимость адекватно отражает влияние свойств структурных элементов композита на его электрическую проводимость.

 

# 02, апрель 2015

 

 

Исследования спектральных свойств операторов с разбегающимися возмущениями (обзор)
# 02, апрель 2015
DOI: 10.7463/mathm.0215.0776859

Головина А. М.

 

В статье проводится хронологический обзор исследований операторов с разбегающимися возмущениями. Поясним, что понимается под разбегающимися возмущениями. Элементарным примером оператора с разбегающимися возмущениями является дифференциальный оператор второго порядка с двумя финитными потенциалами, носители которых находятся на большом расстоянии друг от друга, то есть, "разбегаются".
Изучением таких операторов занимались ещё с середины прошлого столетия в основном зарубежные учёные (см., например, работы Ahlrichs R., Aktosun T., Klaus M., Aventini P., Aventini P., Exner P., Davies E.B., Graffi V., Harrell II E.V, Silverstone H.J., Mebkhout M., Höegh-Krohn R., Hunziker W., Kostrykin V., Schrader R., Morgan J.D.(III), Pinchover Y., Reity O.K., Tamura H., Wang X., Wang Y., Kondej S., Simon B., Veselič I., Борисов Д.И., Головина А.М.). Главными объектами их исследований были асимптотические поведения собственных значений и соответствующих им собственных функций возмущённых операторов. Имеется также несколько работ, в которых исследовались резольвенты и собственные значения возмущённого оператора, возникающего из края существенного спектра. Основными результатами работ прошлого столетия являются первые поправки асимптотик возмущённых собственных значений и соответствующих им собственных функций, а также первые поправки асимптотик резольвент данных возмущённых операторов. Главными результатами работ последних пятнадцати лет являются полные асимптотические разложения для собственных значений и соответствующих им функций и явная формула для резольвенты возмущённого оператора.
В настоящей работе также отмечается, что вплоть до 2004 года в качестве возмущающих операторов рассматривались лишь различного рода потенциалы, а невозмущёнными операторами были операторы Лапласа и Дирака. Лишь с 2004 года в работах по данной тематике начинают встречаются непотенциальные возмущающие операторы, а вместо операторов Лапласа и Дирака в качестве невозмущённого оператора с 2012 года начинает рассматриваться произвольный эллиптический дифференциальный оператор.

 

Управление плоским движением квадрокоптера
# 02, апрель 2015
DOI: 10.7463/mathm.0215.0789477

Канатников А. Н., Акопян К. Р.

 

В множестве современных летательных аппаратов квадрокоптер относится к беспилотным летательным аппаратам (БПЛА), относительно дешевым и простым для проектирования. Квадрокоптеры способны летать в плохую погоду, зависать в воздухе на достаточно длительное время, вести наблюдение за объектами и выполнять много других задач. Они нашли свое применение в спасательных операциях, в сельском хозяйстве, в военном деле и в многих других областях.
Для квадрокоптеров актуальны задачи планирования маршрутов и управления. Эти задачи имеют много разных вариантов, в которых учитываются и ограниченные ресурсы современных БПЛА, и необходимость учета возможных препятствий, например, при организации полетов в пересеченной местности или в городской среде, и учет погодных условий (в частности, ветровой обстановки). Этим задачам посвящено много исследований, отраженных в целом ряде публикаций (отметим интересный обзор [1] по теме и ссылки в нем). Для синтеза управления этими аппаратами использовались самые разные подходы и методы: линейные аппроксимации [2], метод скользящих режимов [3], метод накрытий [4] и др.
В данной статье квадрокоптер рассматривается как твердое тело. Анализируются кинематические и динамические уравнения движения. Выделяются два случая движения: в вертикальной и в горизонтальной плоскостях. Управление строится с помощью приведения управляемой аффинной системы к каноническому виду [5] и использования метода нелинейной стабилизации

 

Вариационный подход к оценке диэлектрической проницаемости композита с дисперсными включениями
# 02, апрель 2015
DOI: 10.7463/mathm.0215.0769483

профессор Зарубин В. С., профессор Кувыркин Г. Н., профессор Пугачёв О. В.

 

Композиты о своей структуре является неоднородным материалом (гетерогенным твердым телом), в котором принято  выделять матрицу и включения.  Матрица в композите выполняет роль  связующего между включениями, свойства которых в основном и определяют область  применения композита. Подбор характеристик матрицы и включений дает возможность удовлетворять  требованиям к материалам, применяемым в различных областях техники. Наряду с широким использованием композитов в качестве    конструкционного или теплозащитного материала они находят применение как функциональные материалы в  разнообразных электротехнических устройствах и приборах, в том числе  в качестве диэлектриков. Для композита-диэлектрика  одной из важнейших характеристик является относительная диэлектрическая  проницаемость, определяемая прежде всего  диэлектрическими  свойствами матрицы и включений, а также  формой и объемной концентрацией включений.
Для композита с дисперсными включениями можно построить адекватные математические модели, дающие возможность достаточно достоверно прогнозировать зависимость его диэлектрической проницаемости от указанных определяющих параметров. Среди различных подходов к построению таких моделей можно выделить использованный в данной работе вариационный подход, позволяющий не только установить эту зависимость, но и получить гарантированные двусторонние границы области возможных значений диэлектрической проницаемости композита, используемой  для оценки наибольшей возможной погрешности вычисляемых значений.  

 

Влияние микроструктуры турбулентности на диффузию тяжелых инерционных частиц
# 02, апрель 2015
DOI: 10.7463/mathm.0215.0776054

профессор Деревич И. В., Фокина А. Ю.

 

На основе спектрального разложения корреляции Эйлера несущей среды получена система замкнутых функциональных уравнений для спектров Лагранжа тяжелой инерционной частицы и флуктуаций скорости несущей среды на траектории частицы. При расщеплении четвертых моментов используется приближение квазинормальности и аппроксимация флуктуаций скорости частиц случайным процессом Гаусса. Предложен приближенный самосогласованный метод решения полученной системы функциональных уравнений. Спектр корреляций Эйлера флуктуаций скорости среды моделируется распределениями Кармана. Исследовано влияние инерции частиц, скорости осредненного скольжения и микроструктуры флуктуаций скорости среды на параметры хаотического движения примеси. Показано, что отличие во временных интегральных масштабах корреляции Эйлера и Лагранжа связано с пространственной микроструктурой флуктуаций скорости среды. Установлено, что в отсутствии массовых сил коэффициент стационарной диффузии инерционных частиц всегда выше, чем коэффициент диффузии безынерционной примеси. Проиллюстрирована зависимость коэффициента турбулентной диффузии примеси от структурного параметра турбулентности.

 

# 01, февраль 2015

 

 

Автоматическая генерация сложных пространственных траекторий БПЛА и синтез управлений
# 01, февраль 2015
DOI: 10.7463/mathm.0115.0778000

Ткачев С. Б., Крищенко А. П., Канатников А. Н.

 

Предложены метод и алгоритмы генерации сложных пространственных траекторий беспилотных летательных аппаратов (БПЛА), проходящих через заданную последовательность путевых точек в трехмерном пространстве.
Для расчетов используется нелинейная шестимерная модель движения центра масс БПЛА, в которой вектор состояния включает высоту, продольную дальность, боковое отклонение, а также траекторные координаты: путевую скорость, угол наклона траектории и угол курса. В качестве управлений рассматриваются продольная и поперечная перегрузки, а также угол между вектором поперечной перегрузки и вертикальной плоскостью, условно называемый углом крена.
Особенность рассматриваемой задачи в том, что в путевых точках заданы не только координаты, но и дополнительные условия, определяющие ориентацию вектора скорости в каждой точке (угол наклона траектории и угол курса), а также указаны либо времена прохождения либо путевые скорости. В стартовой путевой точке задан полный вектор состояния и определены управления.
Для построения пространственной траектории используется концепция обратных задач динамики, а также современные результаты математической теории управления нелинейными динамическими системами. Введением новых виртуальных управлений исходная система преобразуется в аффинную, т.е. линейную по управлению, а затем в систему регулярного канонического вида.

 

 

Нестационарные эффекты в реакторе Фишера-Тропша с неподвижным слоем частиц катализатора
# 01, февраль 2015
DOI: 10.7463/mathm.0115.0777093

профессор Деревич И. В., Галдина Д. Д.

 

На основе анализа малых возмущений температуры в реакторе Фишера-Тропша с неподвижным слоем гранул катализатора исследуются сценарии потери тепловой устойчивости. Установлены два сценария потери тепловой устойчивости реактора. Во-первых, возможна потеря тепловой стабильности внутри каталитических гранул, приводящая к росту их температуры. Во-вторых, неконтролируемое увеличение температуры в объеме реактора. Границы, термической стабильность получены на основе решения задач на собственные значения для сферических гранул катализатора и цилиндрического реактора. Моделируются процессы диффузионного торможения в порах гранул, тепловыделение в объеме гранул и охлаждение стенок реактора. Оценки границ термической стабильности сопоставляются с результатами численного моделирования нестационарного поведения температур и концентрации синтез-газа.

 

Оценка методом самосогласования диэлектрической проницаемости анизотропного композита с пластинчатыми включениями
# 01, февраль 2015
DOI: 10.7463/mathm.0115.0776021

профессор Зарубин В. С., профессор Кувыркин Г. Н., профессор Пугачёв О. В.

 

Наряду с широким использованием композитов в качестве конструкционных или теплозащитных материалов они находят применение и как функциональные материалы в большом числе разнообразных электротехнических устройств и приборов, в том числе в качестве диэлектриков. Для композита, применяемого в этом качестве, одной из важнейших характеристик является относительная диэлектрическая проницаемость, зависящая прежде всего от диэлектрических свойств включений и матрицы, а также от формы и объемного содержания включений.

В работе построена математическая модель взаимодействия электростатических полей в изотропном пластинчатом включении и в окружающей его однородной анизотропной среде, моделирующей диэлектрические свойства композита с такими включениями. Рассмотрен вариант одинаковой ориентации пластинчатых включений, что приводит к частному случаю анизотропии диэлектрических свойств композита, соответствующему трансверсальной изотропии относительно направления, перпендикулярного включениям. Форма включений представлена сплющенными эллипсоидами вращения (сфероидами). Преобразование дифференциального уравнения, описывающего распределение электрического потенциала трансверсально изотропной среде, окружающей сфероидальное включение, к уравнению Лапласа с последующим переходом от исходного сфероида к приведенному эллипсоиду вращения позволяет для определения диэлектрических свойств композита применить метод самосогласования. Этот метод состоит в приравнивании нулю результата осреднения возмущений электростатического поля во включениях и в частицах матрицы относительно невозмущенного поля в окружающей среде.

Построенная математическая модель дает возможность определить возмущение электростатического поля во включениях и в частицах матрицы по отношению к невозмущенному полю, заданному в окружающей среде на расстоянии от включений и частиц матрицы, много больше их характерных размеров. Путем осреднения возмущений электростатического поля во всех элементах структуры композита получена система двух квадратных уравнений относительно искомых главных значений тензора диэлектрической проницаемости рассматриваемого композита. Результаты количественного анализа этой системы представлены в виде графиков и могут быть использованы для прогноза диэлектрических характеристик композитов с одинаково ориентированными пластинчатыми включениями (в том числе в виде наноструктурных элементов).

 

 

 

 

 

 

 

 

Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2017 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)