Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

Итерационный метод решения СЛАУ на основе механической аналогии

# 08, август 2015
DOI: 10.7463/0815.0791351
Файл статьи: SE-BMSTU...o031.pdf (951.83Кб)
авторы: Берчун Ю. В.1, Бурков П. В.1, Чиркова А. С.1, Прокопьева С. М.1, Рабкин Д. Л.1, Лукьянов А. А.1

УДК 519.6

1 Россия,  МГТУ им. Н.Э. Баумана

Приводится обзор предпосылок, приводящих к построению различных итерационных методов решения СЛАУ. Рассматриваются методы расщепления, методы вариационного типа, методы проекционного типа, методы установления.
Предложен новый итерационный метод, в основу которого положена механическая аналогия (движение без сопротивления материальной точки, соединённой идеальными упруго-линейными связями с бесконечными направляющими, определяемыми уравнениями решаемой СЛАУ). Рассматриваемая механическая система имеет единственное положение устойчивого равновесия, координаты которого соответствуют решению СЛАУ. Указанная модель механической системы представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, интегрирование которых позволяет определить траекторию точки. В отличие от классических методов установления в предложенном методе не гарантируется прохождение траектории через положение равновесия. При этом сходимость метода достигается за счёт итерационного останова материальной точки в момент её прохождения через ближайший (с начала данной итерации) минимум потенциальной энергии. После этого запускается очередная итерация метода (с изменёнными начальными координатами).
Ресурсоёмкая процедура численного интегрирования дифференциальных уравнений с целью получения точного закона движения на каждой итерации заменяется нахождением его аппроксимации. Коэффициенты аппроксимирующего полинома четвёртого порядка вычисляются из начальных условий, включая производные высших порядков. Полученная аппроксимация позволяет оценить кинетическую энергию материальной точки с целью приближённого расчёта момента времени достижения максимума кинетической энергии (и минимума потенциальной) – т.е. времени окончания итерации.
Выполнена программная реализация, проведено исследование скорости сходимости предложенного метода на задачах с симметричными положительно определёнными матрицами, порождёнными в результате применения метода конечных элементов. Предложенный метод показал сопоставимые результаты с широко применяемым методом сопряжённых градиентов. Имеется перспективы развития предложенного метода, в частности за счёт применения предобуславливателей.

Список литературы
  1. Александров А.А., Димитриенко Ю.И. Математическое и компьютерное моделирование - основа современных инженерных наук // Математическое моделирование и численные методы. 2014. № 1. С. 3-4.
  2. Маничев В.Б., Глазкова В.В., Кожевников Д.Ю., Кирьянов Д.А., Сахаров М.К. Решение систем линейных алгебраических уравнений с удвоенной точностью вычислений на языке Си // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Приборостроение. 2011. № 4. С. 25-36.
  3. Жук Д.М., Маничев В.Б., Сахаров М.К. Сравнение современных решателей жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений с решателями Си библиотеки SADEL // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2012. № 8. С . 283-300. DOI: 10.7463/0812.0445558
  4. Трудоношин В.А. Эволюция средств моделирования динамических систем // Информационные технологии. 2012. № 10. С. 4-7.
  5. Карпенко А.П. Современные алгоритмы поисковой оптимизации. Алгоритмы, вдохновленные природой: учеб. пособие. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014. 446 с.
  6. Карпенко А.П., Чернов С.К. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом предобуславливания на графических процессорных устройствах // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 1. С. 185-214. DOI:10.7463/0113.0525190
  7. Желдаков А.В., Федорук В.Г. Параллельный алгоритм решения систем линейных алгебраических уравнений с многодиагональной матрицей коэффициентов // Наука и образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон . журн . 2013. № 7. С. 257-272. DOI: 10.7463/0713.0590785
  8. Матвеева Н.О., Горбаченко В.И. Решение систем линейных алгебраических уравнений на графических процессорах с использованием технологии CUDA // Известия Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г. Белинского. 2008. № 12. С . 115-120.
  9. Саад Ю. Итерационные методы для разреженных линейных систем. В 2 т. Т. 1: пер. с англ. М.: Изд-во МГУ, 2013. 326 с.
  10. Уоткинс Д. Основы матричных вычислений: пер. с англ. М.: Бином, 2009. 664 с .
  11. Шевцов Г.С., Крюкова О.Г., Мызникова Б.И. Численные методы линейной алгебры. СПб.: Лань, 2011. 496 с.
  12. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. М.: Высшая школа, 2009. 848 с.
  13. Тыртышников Е.Е. Матричный анализ и линейная алгебра. М .: Физматлит , 2007. 480 с .
  14. Тыртышников Е.Е. Методы численного анализа. М.: Академия, 2007. 320 с.
  15. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разраженных систем уравнений: пер. с англ. М.: Мир, 1984. 333 с.
  16. Эстребю О., Златев З. Прямые методы для разреженных матриц: пер. с англ. М .: Мир , 1987. 120 с .

 



Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2017 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)