Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

Расчет возрастания энтропии при теплообмене двух тел

# 01, январь 2014
DOI: 10.7463/0114.0681975
УДК: 536.75
Файл статьи: Glagolev_P.pdf (273.24Кб)
авторы: Глаголев К. В., Морозов А. Н., Поздышев М. Л.

УДК 536.75

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана
cglagolev@mail.ru
amor59@mail.ru
pte59@mail.ru

Разработка методов описания процессов, происходящих в неравновесных системах, требует применения новых подходов. Дело в том, что в отличие от процессов, происходящих в квазиравновесных системах, для которых применимы методы равновесной термодинамики, при описании сильно неравновесных систем возникает необходимость использования соотношений, отличающихся от обычно применяемых в линейной термодинамике [1, 2]. В частности, в качестве альтернативы линейным кинетическим соотношениям выступает применение интегральных преобразований, описывающих немарковские процессы [3].

Стремление энтропии к максимальному значению при приближении термодинамической системы к равновесному состоянию описывается разными функциями, в зависимости от степени неравновесности системы. Если система находится в близком к равновесию состоянии, то её стремление к максимальному значению происходит максимально быстро и описывается экспоненциальной зависимостью. Для далеких от равновесия состояний возрастание энтропии происходит максимально медленно и описывается логарифмической зависимостью. Покажем это на простом примере.

Пусть имеется термодинамическая система, состоящая из двух находящихся в тепловом контакте тел, помещенная в адиабатическую оболочку. Считаем, что тела имеют идеальную (бесконечно высокую) теплопроводность. Теплоемкости тел одинаковы и равны . Температура первого тела в некоторый момент времени равна , а второго - , причем . Найдем уравнение, описывающее изменение энтропии системы с течением времени при её стремлении к состоянию термодинамического равновесия. Будем считать, что передача теплоты от одного тела к другому описывается формулой

,(1)

где - коэффициент теплопередачи.

После достижения системой состояния термодинамического равновесия температура тел станет одинаковой

,(2)

а её энтропия примет максимальное значение .

Изменение энтропии системы при её переходе в равновесие можно определить по формуле

(3)

Из этой формулы следует

(4)

В соответствии со свойством аддитивности энтропии для изменения энтропии рассматриваемой системы можно записать

(5)

Здесь учтено, что теплота отводится от второго тела и подводится к первому.

Тогда уравнение, описывающее изменение энтропии с течением времени при стремлении системы к состоянию термодинамического равновесия, примет окончательный вид

(6)

При  правая часть этого уравнения больше нуля, что соответствует росту энтропии с течением времени: . При достижении энтропией системы  равновесного (максимального) значения , правая часть полученного уравнения становится равной нулю, и дальнейшего роста энтропии не происходит.

Если считать, что в начальный момент времени энтропия , то решение уравнения (6) можно записать в неявном виде [4]

(7)

Получим решение для двух частных случаев. В первом будем считать, что термодинамическая система находится в состоянии, близком к равновесному: . Тогда, приближенное решение уравнения (6), имеет вид

(8)

Из выражения (8) следует, что в состояниях, близких к равновесному, энтропия экспоненциально стремится к своему максимальному значению.

Рассмотрим теперь случай, когда термодинамическая система находится в состоянии, далеком от равновесия: . Решение (6) в этом случае имеет вид:

(9)

Как следует из выражения (9), в состояниях далеких от равновесия энтропия стремиться к максимальному значению по логарифмическому закону. Хотя логарифмическая функция и является более пологой, чем экспоненциальная, скорость увеличения энтропии, рассчитанная по формуле (9) оказывается имеющей большую величину, чем в случае применения формулы (8).

Результат численного решения уравнения (6) приведен на рис. 1 (средняя кривая 2) при следующих значениях параметров: , ,  и . На этом же рисунки приведены кривые, рассчитанные по формуле (8) (нижняя кривая 3) и по формуле (9) (верхняя кривая 1). Видно, что решение (8), соответствующее случаю описания термодинамической системы в состоянии близком к равновесию, достаточно явно не совпадает с численным решением уравнения (6) при сильно неравновесном состоянии. Результат, полученный по формуле (9), расходится с численным моделированием в области, близкой к равновесию.

Рис. 1. Зависимость энтропии от времени: 1 – при описании с помощью
формулы (9), 2 - при решении уравнения (6), 3 – при описании с помощью
формулы (8)

Таким образом, рассмотренный простой пример показывает, что характер стремления энтропии к максимальному значению различен для систем, находящихся в состоянии близком к равновесию и для сильно неравновесных состояний. Полученные зависимости сохраняют свой вид и при описании необратимых процессов в более сложных термодинамических системах и, видимо, имеют достаточно универсальный характер.

Список литературы

  1. Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука, 1983. 416 с.
  2. Глаголев К.В., Морозов А.Н. Физическая термодинамика. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. 272 с.
  3. Morozov A.N., Skripkin A.V. Spherical particle Brownian motion in viscous medium as non-Markovian random process // Physics Letters A. 2011. Vol. 375, no. 46. P. 4113-4115. DOI: 10.1016/j.physleta.2011.10.001
  4. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. 800 с.
Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА
18.12.2017
С 21 по 24 ноября 2017г. в МГТУ им. Н.Э. Баумана прошла XII Всероссийская инновационная молодежная научно-инженерная выставка «Политехника», посвященная 170-летию со дня рождения Н.Е. Жуковского в рамках Всероссийского инновационного молодежного научно-инженерного форума «Политехника».

11.10.2017
XII Всероссийская инновационная молодежная научно-инженерная выставка «ПОЛИТЕХНИКА», посвященная 170-летию со дня рождения Н.Е. Жуковского 21–24 ноября 2017 года г. Москва

25.05.2017
C 15 по 17 мая 2017г. в МГТУ им. Н.Э. Баумана прошел III этап (Всероссийский) Всероссийской студенческой олимпиады по физике (в технических вузах).

25.04.2017
С 12 по 14 апреля в МГТУ им. Н.Э. Баумана прошел Всероссийский этап Всероссийской олимпиады по безопасности жизнедеятельности.

4.04.2017
С 14 по 16 марта 2017г. в МГТУ им. Н.Э. Баумана прошел III (Всероссийский) тур Всероссийской студенческой олимпиады по иностранному языку (английский в технических вузах).




Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2018 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)