Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

Броуновское движение плоской поверхности в неньютоновской среде

# 06, июнь 2013
DOI: 10.7463/0613.0586338
Файл статьи: Skripkin_P.pdf (292.79Кб)
авторы: Морозов А. Н., Скрипкин А. В.

УДК 532.135, 519.216

Россия, МГТУ им. Н.Э. Баумана

amor@mx.bmstu.ru

skripkin@mail.ru

 

1. Введение

Динамическое описание броуновского движения осуществляют, как правило, с использованием уравнения Ланжевена, в котором внешнее случайное воздействие среды учитывается посредством введения стохастической силы (ланжевеновского источника), представляющей собой дельта-коррелированный случайный процесс с нулевым средним значением [1]. Уравнение Ланжевена для скорости  броуновского тела имеет вид

,                                              (1)

где M – масса тела,  – сила сопротивления со стороны среды,  – случайная сила,  – сумма остальных (детерминированных) сил.

При движении броуновской частицы в вязкой среде традиционно предполагают, что сила  пропорциональна скорости движения

,                                                              (2)

где  – коэффициент трения. Такой подход делает уравнение (1) стохастическим дифференциальным уравнением, с помощью которого можно найти любые статистические характеристики процесса, используя хорошо разработанную теорию стохастических дифференциальных систем [2].

Соотношение (2) не учитывает того факта, что броуновская частица увлекает окружающие ее частицы среды, которые, в свою очередь, начинают оказывать влияние на ее движение. При учете такого увлечения [3] сила сопротивления (2) дополняется слагаемым, пропорциональным производной скорости и соответствующим инертным свойствам среды, а также интегральным слагаемым, ответственным за наследственные свойства броуновского движения. Немарковское описание броуновского движения, в котором сила сопротивления имеет указанный характер, проведено в работе [4].

Описание движения плоской поверхности в вязкой среде принципиально учитывает увлечение окружающих частиц среды. Если среда имеет ньютоновские свойства, то сила сопротивления, действующая на единицу площади такой поверхности, определяется формулой

,                                                          (3)

где  – вязкость среды,  – скорость частиц среды. В уравнении (3) считается, что поверхность расположена в плоскости , а ее одномерное движение осуществляется перпендикулярно оси Ox(рис. 1).

 

Рис. 1. Поверхность в неньютоновской жидкости

 

Дополненное уравнением для скорости среды  при

,                                                            (4)

где  – кинематическая вязкость, а также начальным и граничным условиями

,                                                                       (5)

,                                                                    (6)

можно получить выражение для  в виде [5]

.                                (7)

Из соотношений (3) и (7) для силы сопротивления, действующей на единицу площади поверхности, имеем

.                                                   (8)

Описание броуновского движения плоской поверхности в вязкой ньютоновской среде с силой (8) проведено в работе [6], в которой показано, что флуктуации скорости поверхности в этом случае имеют характер фликкер-шума.

 

2. Неньютоновская среда

Многие среды проявляют ярко выраженные неньютоновские свойства. В этом случае уравнение (3) заменяется на выражение вида [7]

,                                                           (9)

где  – эффективная вязкость, а параметр  определяет неньютоновские свойства среды (при  жидкость относится к классу дилетантных, при  – псевдопластичных). В дальнейшем будем считать величину этого параметра малой: .

Представим  в виде

.                                             (10)

Считая, что неньютоновские свойства среды существенны лишь в некотором слое шириной , соответствующем характерному расстоянию затухания возмущения среды; принимая после этого, что вблизи поверхности , и полагая также, что уравнение для скорости среды (7) по-прежнему справедливо, получим

.                                                (11)

В последнем выражении, ввиду того, что производные четного порядка  равны нулю, оставлены первые два ненулевых слагаемых (10), а параметр

.                                                                     (12)

Тот факт, что в последнее соотношение для величины  параметр  входит во второй степени, приводит к тому, что в рассматриваемой модели влияние как дилетантной, так и псевдопластичной сред на характер движения поверхности одинаково.

Из уравнения (11) найдем окончательно выражение для силы сопротивления, действующую на единицу поверхности, движущейся в неньютоновской жидкости

.                                  (13)

Подстановка (13) в соотношение (1) приводит к следующему уравнению Ланжевена для свободной () поверхности

,                           (14)

где введено обозначение

.                                                                    (15)

а M – масса единицы площади поверхности,  – случайная сила, действующая на единичную площадь.

Интегральное уравнение Вольтерра второго рода (14) не сводится к конечной системе дифференциальных уравнений, поэтому процесс  (а вместе с ним и процесс ) относятся к классу немарковских случайных процессов [8].

 

3. Характеристическая функция и моменты

Найдем характеристическую функции процесса , воспользовавшись методом описания немарковских процессов, задаваемых линейными интегральными операторами, разработанным в [9]. Получим

.        (16)

Здесь  – интенсивность случайного воздействия , а параметр  – характерное время, соответствующее времени хаотизации среды, и которое может быть оценено с помощью формулы

,                                                                (17)

где c – скорость звука в вязкой среде,  и  – молярная масса и плотность жидкости соответственно,  – число Авогадро.

Формула (16) показывает, что в установившемся процессе броуновского движения поверхности в неньютоновской среде () основной вклад в статистические свойства вносит логарифмическое слагаемое, соответствующее движению поверхности в ньютоновской среде. Таким образом, по истечении значительного времени после начала движения поверхности, на ее поведение неньютоновские свойства среды не будут оказывать практически никакого влияния. Кроме того, ввиду слабого изменения логарифмической функции установившегося процесса за некоторый конечный промежуток времени, экспериментальные исследования установившегося движения поверхности практически дадут стационарные значения его статистических характеристик. График функции  при различных значениях времени t изображен на рис. 2.

Рис. 2. График функции  при  (кривая 1),  (2),  с (3) (поверхность с  кг/м2 в воде, )

 

Одномерная характеристическая функция позволяет найти моменты любого порядка процесса . В частности, для математического ожидания и дисперсии получим

,                                                      (18)

.  (19)

На рис. 3 приведен график функции, представляющей собой отношение дисперсий флуктуаций ускорения поверхности  для случаев неньютоновской и ньютоновской жидкостей, т.е. функции . Видно, что данное отношение дисперсий с течением времени уменьшается (особенно быстро в начале движения поверхности), стремясь при  к величине, равной единице.

Рис. 3. График функции  (параметры аналогичны рис. 2)

 

4. Заключение

Проведенное в работе описание модели броуновского движения плоской поверхности в неньютоновской среде показало существенное отличие статистических характеристик такого процесса по сравнению с аналогичными характеристиками в случае движения поверхности в ньютоновской жидкости. Также было обнаружено, что в рамках предложенной модели влияние дилетантной и псевдопластической жидкостей на статистические характеристики процесса одинаково.

 

Список литературы

1. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982. 608 с.

2. Пугачев В.С., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1990. 632 с.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 6. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

4. Morozov A.N., Skripkin A.V. Spherical particle Brownian motion in viscous medium as non-Markovian random process // Physics Letters A. 2011. Vol. 375, no. 46. P. 4113-4115. http://dx.doi.org/10.1016/j.physleta.2011.10.001

5. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1977. 736 с.

6. Морозов А.Н., Скрипкин А.В. Применение уравнения Вольтерра второго рода для описания вязкого трения и теплопроводности // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2006. № 3. С. 62-71.

7. Уилкинсон У.Л. Неньютоновские жидкости : пер. с англ. М.: Мир, 1964. 216 с.

8. Морозов А.Н. Необратимые процессы и броуновское движение. М.:  Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1997. 332 с.

9. Морозов А.Н. Метод описания немарковских процессов, задаваемых линейным интегральным преобразованием // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2004. № 3. С. 47-56.

10. Бочков Г.Н., Кузовлев Ю.Е. Новое в исследованиях 1/f-шума // Успехи физических наук. 1983. Т. 141. С. 151-176.

 

Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА
18.12.2017
С 21 по 24 ноября 2017г. в МГТУ им. Н.Э. Баумана прошла XII Всероссийская инновационная молодежная научно-инженерная выставка «Политехника», посвященная 170-летию со дня рождения Н.Е. Жуковского в рамках Всероссийского инновационного молодежного научно-инженерного форума «Политехника».

11.10.2017
XII Всероссийская инновационная молодежная научно-инженерная выставка «ПОЛИТЕХНИКА», посвященная 170-летию со дня рождения Н.Е. Жуковского 21–24 ноября 2017 года г. Москва

25.05.2017
C 15 по 17 мая 2017г. в МГТУ им. Н.Э. Баумана прошел III этап (Всероссийский) Всероссийской студенческой олимпиады по физике (в технических вузах).

25.04.2017
С 12 по 14 апреля в МГТУ им. Н.Э. Баумана прошел Всероссийский этап Всероссийской олимпиады по безопасности жизнедеятельности.

4.04.2017
С 14 по 16 марта 2017г. в МГТУ им. Н.Э. Баумана прошел III (Всероссийский) тур Всероссийской студенческой олимпиады по иностранному языку (английский в технических вузах).




Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2018 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)