Другие журналы

научное издание МГТУ им. Н.Э. Баумана

НАУКА и ОБРАЗОВАНИЕ

Издатель ФГБОУ ВПО "МГТУ им. Н.Э. Баумана". Эл № ФС 77 - 48211.  ISSN 1994-0408

77-30569/330069 Конструкции алгебраической геометрии и простые 24-вершинные, 14-гранные полиэдры, не являющиеся стереоэдрами в клатратах

# 03, март 2012
Файл статьи: Крапошин_2_P.pdf (558.08Кб)
авторы: Талис А. Л., Крапошин В. С., Веселов И. Н., Ронова И. А., Беляев О. А.

УДК 548.1

Институт элементоорганических соединений им. А.Н. Несмеянова РАН

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Тверской государственный университет

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

talishome@mail.ru

kraposhin@gmail.com

Igor.veselov@mail.ru

ron@ineos.ac.ru

belayev@polly.phys.msu.ru

 

Введение

 

Огромные запасы углеводородов находятся в форме клатратных гидратов (газогидратов), строение и свойства которых определяются тетракоординированным водным каркасом, образованным ребрами полиэдров–полостей. Изучение структуры и свойств клатратных гидратов необходимо для разработки современных и безопасных технологий добычи и транспортировки газа (и других полезных ископаемых), создания энергосберегающих технологий, технологий разделения газовых смесей и т.п.

Несмотря на весьма продолжительную историю изучения клатратов, понимание особенностей их структуры, механизмов образования и фазовых превращений в них остается неполным. Первопричиной этого является несовместимость оси пятого порядка додекаэдра (основного полиэдра–полости клатратов) с решеткой кристалла. В рамках классической кристаллографии не существует конструкции,  отображающей и симметрию додекаэдра, и симметрию решетки. Не существует такой конструкции и для отображения симметрии когерентного сопряжения в одном образце нескольких кристаллических клатратных фаз, которое было обнаружено в [1]. Решение подобных проблем потребовало применения аппарата алгебраической геометрии, в частности, для определения графа усеченного икосаэдра, с которым совпадает строение молекулы фуллерена С60 и который обладает той же точечной группой Y, что и додекаэдр [2]. В [2] было указано и на соответствие между Yи системой корней 8-мерной решетки Е8 (первой координационной сферы) максимальной полупростой исключительной алгебры Ли e8 [3].

Возможность реализации упорядоченных твердотельных структур в трехмерном евклидовом пространстве E3 определяется его топологическими свойствами, одним из которых является отсутствие разбиения на правильные тетраэдры. Поэтому плотнейшие упаковки шаров приходится аппроксимировать объединениями вокруг одного ребра 4-х, 5-ти и 6-ти неправильных тетраэдров, а центральный шар оказывается внутри одного из полиэдров, относящихся к типу полиэдров Франка–Каспера [4,5]. Дуальными к таким полиэдрам являются простые (в каждой вершине сходится  минимально возможное число 3 ребер, т.е. 3) 14-гранники с 4-, 5- и 6-угольными гранями.,

Дуальное к тетракадекаэдру [40, 512, 62] разбиение сферы на 24 треугольника определяет канонический полиэдр Z14 Франка-Каспера (k=6), представляющий собой один из основных строительных блоков структур интерметаллидов (иначе называемых топологически плотноупакованными структурами, поскольку они сложены только из тетраэдров). Таким образом, вывод всех простых 24-вершинных 14-гранных полиэдров с 4-, 5- и 6- угольными гранями, фактически, является и выводом полиэдров Z14 вида [46-k, 52k, 68-k], у которых в 6-k, 2k и 8-k вершинах сходятся по 4, 5 и 6 ребер. Полиэдры Франка- Каспера  Z14[46-k, 52k, 68-k] при k= 1, 2, 3, 4, 5 назовем  неканоническими. При одном и том же kдва полиэдра могут обладать одной и той же точечной группой симметрии, и, следовательно, не будут различаться в рамках классической кристаллографии. Данный пример наглядно демонстрирует необходимость определения кристаллографических конструкций в рамках более общего аппарата алгебраической геометрии.

Основной целью настоящей работы является определение конструкций алгебраической геометрии, способных адекватно отобразить симметрию простых 24-вершинных 14-гранных полиэдров с 4-, 5- и 6- угольными гранями. Решение данной задачи необходимо для априорного вывода полиэдров – полостей в клатратах и неканонических 14-вершинных полиэдров Франка-Каспера.

                                                              

Конструкции алгебраической геометрии и таблицы инцидентности графов простых 24 –вершинных 14-гранных полиэдров.

 

Один  из полиэдров, аппроксимирующих плотнейшие упаковки шаров - - усеченный октаэдр [46, 68] с шестью квадратными и восемью гексагональными гранями, представляет собой полиэдр Дирихле для ОЦК-решетки. Этот полиэдр показан на рис.1 вместе со своей таблицей инцидентности. Полиэдр [46, 68] принадлежат классу простых 24-вершинных 14-гранных полиэдров [4n, 512-2n, 6n+2], n=2, 3, 4, 6, который, в частности, содержит 10 стереоэдров, т.е. полиэдров, которые при размножении Федоровскими группами, осуществляют разбиения Е3 без промежутков [5]. В общем случае, к данному классу полиэдров могут принадлежать и не стереоэдры [46-k, 52k, 68-k], k=2, 3, 4, 5, 6.

Вершины полиэдра Кельвина [46, 68] с группой симметрии  Oh=ThmdTh, принадлежат двум конгруэнтным прямым икосаэдрам:

[46,68]@ {3,5}п  md{3,5}п       (1),

где md– диагональная плоскость симметрии куба, Th– группа  симметрии прямого  икосаэдра {3, 5}п. Каждая вершина {3, 5}п окружена тремя вершинами md{3, 5}п и наоборот, поэтому графу [46, 68] может быть однозначно сопоставлен бихроматический граф (рис. 1а). Группа вращений икосаэдра Y изоморфна проективной специальной линейной группе PSL2(5), входящей в особую серию групп PSL2(p), p=3, 5, 7, 11, относительно которых инвариантно множество из pи p+1 инволюций [3]. Максимальная из этих групп - группа PSL2(11) порядка 660 содержит гексагональную и кубическую точечные подгруппы D6и Т, а также  подгруппуM5,11(рис. 2):

PSL2(11) = D6M5, 11=ТM5,11 =IС11   (2),

где I- группа вращений икосаэдра, С11 - циклическая группа 11-го порядка [6]. В [2] было показано, что 12 борелевских подгрупп B=M5,11=C5*C11 группы PSL2(11) соотносятся с 12 вершинами икосаэдра. Иными словами, множество вершин икосаэдра изоморфно совокупности смежных классов разложения группы по подгруппе:

Y/C5 PSL2(11)/B = giB ,   giB=C5C11    (3),

где PSL2(11) подгруппа индекса 12 в группе Матье M11 [3].

Поскольку параллелоэдр [46,68] – это объединение двух конгруэнтных 12-вершинных (прямых) икосаэдров, обладающее группой симметрии Oh, для отображения симметрии его графа необходимо использовать максимальную подгруппу симметрической группы S12 (перестановок 12 символов), которая удовлетворяет  условиям (1) - (3). Такой подгруппой является группа 2M12, множество смежных классов которой по M11 изоморфно совокупности вершин [46, 68]:

Oh/C1v2M12/M11 = 2giM11=gi 2 PSL2(11)                   (4),

где 2 – группа 2 порядка. Группа M12  содержит  подгруппу MnS12-n, где S12-n- симметрическая группа порядка (12-n)!, n=8, 9, 10, 11. [3]. Соотношения (4) определяют таблицу инцидентности (ТИ) бихроматического графа параллелоэдра [46, 68]. В этой таблице 12х12 столбцу соответствует белая вершина, строке – черная, а знаку инцидентности – соединяющее их ребро (рис. 1.б). В каждом столбце и каждой строке по 3 знака, подтаблица 9´9 представляет собой ТИ конфигурации(93)2 конечной проективной геометрии [7].  Обозначим эту ТИ (рис. 1б) через ТИ123(М9S3).

 

            

а)                                                      б)

 

Рис.1. а). Вершины параллелоэдра [46, 68] являются вершинами белого и черного прямых икосаэдров. б). Таблица инцидентности (ТИ) графа параллелоэдра. Белым вершинам соответствуют столбцы ТИ, черным - строки, ребрам – зачерненные кружки. Кружок в кружке определяет ребро, которое разделяет квадрат и гексагон параллелоэдра. Подблоки таблицы, содержащие такие знаки, показаны светло-серым цветом.

 

Сохранение алгебраически существенной части условий (4) позволяет отобразить простой граф полиэдра [46, 68] в простой граф с тем же числом вершин, ребер и граней, которые могут отличаться, например, схождением ребер вершинах. Полиэдр с таким графом назовем M-эквивалентным параллелоэдру [46, 68], если отображение графов осуществляется преобразованием из 2M12.Можно показать, что для ТИ123(М9S3) алгебраически существенными являются два требования: вложение подтаблицы 9´9 в ТИ конфигурации 93 и равенство соответствующему инварианту E8 числа знаков в диагональных блоках. С учетом существования кратных трем инвариантов 18, 24, 30 системы E8, в диагональных блоках ТИ123(М9S3) могут быть {(3(7+f)3(1+|f|)}, f=0, ±1 знаков.

Старшему инварианту 30 соответствует объединение 24 знаков диагональных блоков ТИ123(М9S3) с 6 знаками двух подблоков недиагональных блоков. Если такими подблоками являются 10–12´1‑3 и 7-9´10-12, то 30-значная подтаблица ТИ123(М9S3) определяет гексагональную призму с двумя параллельными гексагонами оснований и 6 боковыми октагонами, каждый из которых разделяется внутренним горизонтальным ребром на 4- и 6-угольник. В недиагональных блоках ТИ123(М9S3) такие ребра определяются знаками подблоков 10‑12´4‑6 и 7‑9´10‑12, которые назовем горизонтальными (рис. 1). При соединении внутренним ребром вершин одного цвета октагон может быть разбит на два 5-угольника. Замена 2k бихроматических ребер графа на монохроматические (между вершинами одного цвета) требует отбрасывания  2k знаков ТИ и введения 2k стрелок, которые, в терминах проективной геометрии, определяют “инцидентность” между вершиной и вершиной (прямой и прямой). Алгебраически существенными являются только диагональные блоки, поэтому уменьшение числа знаков инцидентности допустимо только в недиагональных. При отбрасывании внутренних (горизонтальных) ребер в 2 соседних боковых октагонах один из них  может быть разделен новым бихроматическим ребром на 4- и 6-угольник, а второй – монохроматическим на два 5-угольника. Это определяет возможность поэтапного отбрасывания знака в горизонтальном подблоке: сначала отбрасываются 2 знака, соответствующие отбрасываемым ребрам, а затем вводится знак, соответствующий новому ребру.

 

Рис. 2. Групп - подгрупповые соотношения в проективной специальной линейной группе PSL2(11) или 11I. Подгруппы I’ и I’’ изоморфны группе I, но не являются сопряженными [6].

 

Итак, в общем случае, можно определить требования к ТИ123(МnS12-n), которая задает простой 24-вершинный граф M-эквивалентный [46, 68]: блок n´n вкладывается в ТИ конфигурации n3 конечной проективной геометрии, а строение всей ТИ определяется соотношением:

2 [3+(3-kij(f))] {(3(7+f) 3(1+|f|)}+δ (k,f)=36               (5),

где в квадратной и фигурной скобках указано число знаков в недиагональном и диагональных блоках; δ(k,f)=2kij(f)-3(f+|f|) – число монохроматических стрелок. Для краткости, вместо символа ТИ123(МnS12-n) будем использовать символ ТИ МnS12-n(f,k); например, граф параллелоэдра [46, 68] будет характеризоваться символом ТИ М9S3(0, 0).

 

рис        рис

а)

рис 

б)

рис   рис   

в)

 

Рис. 3. Таблицы инцидентности, графы в форме диаграмм Шлегеля и определяемые ими простые 14-гранные полиэдры-полости клатратов: а) тетракадекаэдр, б) полиэдр № 10 из статьи [5], в) полиэдр с одной 4-угольной гранью из статьи [8]. Шестиугольники  заштрихованы, четырехугольники показаны темно-серым цветом. В тетракадекаэдре жирные линии выделяют боковые декациклы. Внутри полиэдра в) изображена молекула метана.

 

Рассмотрим все M-эквивалентные полиэдры (кластеры), графы которых определяются  ТИ М9S3(f,k), удовлетворяющей (5). Условия f=0, kij(0)=0, 1, 2, δ=2k   означают замену 2k боковых граней [46, 68] на 2k пар 5-угольников по механизму:

 

[46,68]@[(46)6-2k,(46)2k,62] ↔ [((46) 2)3-k,((52)2)k, 62] [46-2k, 54k ,68-2k] (6),

 

где (46) 2 и (52)2 – декациклы, возникающие при объединении пары боковых  октагонов или двух пар 5-угольников.  Варианту k=0 соответствует параллелоэдр [46, 68] (рис. 1а); k=1– стереоэдры №2, 3, 8 [5]; k=2– стереоэдры №5, 7, 9 [5]. Условия f=0, k=3, δ=2k, в соответствии с (5), определяют тетракадекаэдр [512, 62] (рис. 3а), который не является стереоэдром.  Стереоэдр на рис. 3б определяется ТИ, которая задается  одним из преобразований mгруппы 2M12, поэтому данный полиэдр обозначим символом [42, 58, 64]m. Преобразование m определяется дополнительным  разбиением множества из 21 вектора в (5) на 20 (инвариант Е8) и 1[9].

В работе [8] был с помощью компьютерного перебора вариантов объединения полиэдров по граням был выведен полиэдр, содержащий наряду с 5-угольными и 6-угольными, одну 4-угольную грань, и не являющийся стереоэдром. Поэтому задача нахождения разбиения методом компьютерной переборки чрезвычайно усложняется: для заполнения пустот между нестереоэдрами может понадобиться несколько разных полиэдров. Поэтому возникла задача априорного определения ТИ простого 24-вершинного 14-гранного полиэдра с одной 4-угольной, десятью 5-угольными и тремя 6-угольными гранями. Хотя данный полиэдр и не является стереоэдром, он может быть полиэдром-полостью в клатратах. Решение этой задачи оказалось возможным благодаря тому, что симметрия системы E8 (одной из основных конструкций развиваемого аппарата) задается определенным блоковым дизайном или t-(v,k,λ)-схемой (см. ниже).

 

Блоковый дизайн и графы особых (объединений) полиэдров.

 

В данной статье решается задача априорного вывода трехмерных упорядоченных (не обязательно кристаллических) структур. Другими словами, это задача нахождения множества вершин, соединенных ребрами (графов), обладающих определенной симметрией  (в нашем случае симметрией решетки Е8). Например, имеется множество из vэлементов. Число всех возможных перестановок данного множества образуют группу из v! элементов. В такой группе будут присутствовать и физические нереализуемые симметрии, т.е.  мы вообще о структуре ничего не узнаем. В зависимости от поставленной физической задачи с помощью блокового дизайна из этой охватывающей группы выделяются необходимые симметрии. Блоковый дизайн, т.е. разбиение множества на подмножества, реализуется например,   в форме t-(v, k, λ)-схемы.  По определению t-(v, k, λ)-схема – это множество из v элементов, разбитое на bподмножеств (блоков) из k элементов так, что любые t элементов содержатся в λ блоках. При t=1 имеем bk=vr, так что каждый элемент принадлежит r блокам [3].

Системой Штайнера S(t, k, v) называется  t-(v, k, λ)-схема при t=4, v=11, k=5, λ=1), 4-(11, 5, 1)=S(4, 5, 11). Система S(4, 5, 11), состоящая из 66 блоков, показана ниже в виде таблицы [10]. Каждое число входит в bk/v=r=30 блоков. Система S(4, 5, 11) однозначно определяет систему S(5, 6, 12), группой автоморфизмов которой является использованная выше группа M12 (соотношение (4) [3, 10]. И вообще, обе упомянутые системы Штайнера описывают симметрии решетки E8.

Примером t-(v, k, λ)-схемы с λ≠1 является 2-(11, 5, 2) –схема или биплоскость, которую образуют выделенные жирным шрифтом пятерки чисел в первом столбце показанной ниже таблицы.Действительно, v=11 – это 11 чисел  от 0 до 10, причем 10 обозначено римской цифрой X; блок состоит из k=5 чисел. Какие бы 2 числа мы не взяли, найдутся только два блока из b=11, которые их содержат [10]. Например, 5 и 7 содержатся только в 3-м и 5-м блоках и т.д.

 

Таблица.

Система Штайнера S(4, 5, 11)или 4-(11, 5, 1)-схема [10].

13459

07293

03618

0412X

06X59

05784

2456X

183X4

14729

15230

1706X

16895

35670

29405

2583X

26341

28170

279X6

46781

3X516

36940

37452

39281

38X07

57892

40627

47X51

48563

4X392

49018

689X3

51738

58062

59674

504X3

5X129

79X04

62849

69173

6X785

61503

6023X

8X015

7395X

7X284

70896

72615

71340

90126

84X60

80395

819X7

83726

82451

X1237

95071

914X6

92X08

94837

93562

02348

X6182

X2507

X3019

X5948

X4673

 

В используемой нами ТИ123(МnS12-n) неявно задействована конечная проективная плоскость PG(2,q), которая является системой Штайнера S(t,k,v) = S(2, q+1, q2+q+1). Действительно, для PG(2,q) число точек v (столбцов в таблице инцидентности) и прямых b(блоков, то есть строк в ТИ) равно v=b=q2+q+1; число k точек на прямой (число точек в блоке) и число r прямых, проходящих через одну точку (каждая точка принадлежит r прямым) равно k=r=q+1. Любые две точки (t =2) принадлежат одной (l=1) прямой, а общее число знаков инцидентности в ТИ PG(2,q) равно b×к=v×r=(q2+q+1)(q+1). Для любого целого t (2£t£t) каждая t-схема определяет и t-схему, для которой t=t–1, l=l(+1-t)/k+1-t. Это позволяет по известной PG(2,q) строить более общие t-(vkl) схемы[3, 11].

Например, при t=3, v=q2+1, k=q+1, =1 система Штейнера S(3, q+1, q2+1)  определяет плоскость Мёбиуса (инверсную плоскость), которая получается из евклидовой плоскости присоединением единственной идеальной точки. Данная точка считается принадлежащей всем прямым плоскости, а такое присоединение уравнивает на плоскости  прямые и окружности, называемые циклами. Подмножество из q2+1 точек проективного пространства порядка q, обладающего тем свойством, что никакие три точки в нем не коллинеарны является овалоидом. Использование овалоида над координатным полем GF(2) позволяет получать точки конечной аффинной плоскости соответствующего порядка, которую, в свою очередь, можно соотнести с корневой системой соответствующей полупростой алгебры.

 

a)

b)

 

c)

 

Рис. 4. Таблица инцидентности плоскости Мёбиуса порядка 3 и определяемое ею объединение 9 кубооктаэдров вокруг центрального. а) Таблица инцидентности плоскости Мёбиуса порядка 3 как 3-(10, 4, 1)−схема [11].б), в) определяемое таблицей а) объединение по квадратным граням 10 кубооктаэдров из ГЦК − решётки. Тройная б) и двойная в) оси кластера совпадают с тройной и двойной осями нулевого кубооктаэдра.

 

Для определяемой S(3, 4, 10) плоскости Мебиуса (при q=3) справедливы следующие положения:

1) Число всех точек плоскости q2+1=10

2) Число всех циклов q (q2+1) =30

3) Каждый цикл инцидентен q+1 =4 точкам

4) Каждая точка инцидентна q(q+1)=12 циклам

5) Каждые два столбца пересекают в точности q+1=4 строки.

Удовлетворяющая этим условиям таблица инцидентности (рис. 4а) состоит из 10 столбцов и 30 строк [11]. В работе [7] показано, что столбец в ТИ (рис. 4а) можно считать центром кубооктаэдра, а каждый из 12 знаков инцидентности данного столбца − вершиной этого кубооктаэдра. При такой трактовке ТИ S(3, 4, 10) определяет объединение по квадратным граням 10 кубооктаэдров, в котором 6 кубооктаэдров стоят на всех квадратных гранях центрального, тем самым выделяя его (рис. 4б, в). Центр такого кубооктаэдра соответствует идеальной точке Ро плоскости Мебиуса. Изображённый на рис. 4б, в кластер обладает симметрией D3 и вкладывается в ГЦК-решётку [7]. Таким образом, если рассмотренные ТИ PG(2,q)=S(2, q+1, q2+q+1), q=2, 3, 4 определяли графы особых кластеров  тетракоординированных (алмазоподобных) структур, то подтаблица ТИ  S(3, q+1, q2+1), q=3 определяет граф особого кластера тетраэдрической (металлической) структуры.

Каждый блок Bв t-(vk, λ)-схеме может быть представлен своим характеристическим вектором (c1, … , cv), таким что ci=1 если iB и сi=0 если iB. Таким образом, t-схема является и двоичным кодом, в  каждом слове  которого из v символов находятся kненулевых. Используемая в (2)-(4) группа PSL2(11), представляет собой группу автоморфизмов биплоскости [5-8], поэтому решение данной задачи потребовало трактовки группы M12  и как группы автоморфизмов троичного кода Голея G12. Этот код определяется добавлением проверки на четность к  коду G11,состоящему  из 729 наборов (слов), в которых по 11 позициям размещены 1, -1 и 0:

G11=1 + 132x5 + 132x6 + 330x8 + 110x9 + 24x11

                      G12=1               + 264x6     + 440x9 +           24x12                                (7)

где Аxn обозначает число А наборов xn, состоящих из n  ненулевых символов [5]. Если 0 сопоставляется пустая клетка в ТИ , 1- знак инцидентности, то -1 сопоставляется пустая  клетка ТИ, в которую может быть перенесен знак инцидентности. Переход от    t-(vk, λ)-схемы к определяемому ею коду, существенно расширяет симметрийные возможности определения ТИ графов. Действительно, система  S(4, 5, 11) состоит из 66 блоков, а код G11 из 729 слов. Не вдаваясь в математические подробности изложенные в [9], укажем, что соотношения (7) позволяют априори получать особые ТИ вида ТИ123(М9S3), которые нельзя выделить только в рамках соотношений (5). Полученная по этому алгоритму ТИ и определяемый ею граф 14-гранного полиэдра с одной 4-угольной, десятью 5-угольными и тремя 6-угольными гранями приведен на рис. 3в.

 

Рис. 5. Образование декацикла в тетракадекаэдре из молекул воды при молекулярно- динамическом моделировании фазового перехода газогидрат – лед.

 

Полученные результаты можно, в частности, рассматривать как симметрийную основу для взаимной трансформации полиэдров, т.е. фазовых и структурных превращений.  Ранее было показано, что так можно описать мартенситные превращения в железе [12] и титане [13], эвтектоидное превращение в сталях[14], а также использовать длямолекулярно-динамического моделирования разложения газогидрата, в результате которого молекула газа покидает полиэдр – полость из молекул воды [12]. Например, для газогидрата I с метаном, занимающим додекаэдрические и тетракадекаэдрические пустоты, было установлено, что его фазовому переходу в лед (воду) предшествует процесс трансформации части тетракадекаэдров (рис.3а) в априори выведенные полиэдры-полости газогидратов (рис. 3б, в). Для части тетракадекаэдров зафиксирован и процесс образования декациклов, через которые молекулы метана уже могут покинуть тетракадекаэдры (рис. 5).

 

Заключение

Полиэдр Кельвина является родоночальником особого класса простых 24-вершинных 14-гранных полиэдров с 4-,5-и 6-угольными гранями. Его симметрия наиболее полно определяется соотношениями (4), в которых используется базовая конструкция группы Матье М12. Эта группа представляет собой группу автоморфизмов системы Штайнера S(5,6,12), которая однозначно связана с кодом Голея G12 и системой Е8 [2, 3, 6]. Применение конструкций М12, S(5, 6, 12), G12 и Е8 позволило априори определить графы полиэдров этого класса, который содержит 10 стереоэдров, генерирующих 23 кристаллографических тетракоординированных  разбиения Е3. Хотя структуры большинства газогидратов ограничиваются этими разбиениями, но принципиально важно в рамках единого аппарата априори определять и графы полиэдров, которые не являются стереоэдрами. В частности, принадлежность стартовых полиэдров к одному классу гарантирует сборку упорядоченных (не обязательно кристаллических) структур.

В более широком контексте, результаты данной работы позволяют утверждать, что существуют особые полиэдры (кластеры) или объединения полиэдров (кластеров), которые являются структурными реализациями конструкций алгебраической геометрии и не могут быть адекватно определены в рамках классической кристаллографии. Априорный вывод таких “строительных блоков” позволяет установить закон сборки  широкого класса упорядоченных (не обязательно кристаллических)  тетракоординированных (клатратных, алмазоподобных и т.п.) и тетраэдрических (металлических и т.п.) структур.В частностидля интерметаллидов такими строительными блоками являются полиэдры Франка-Каспера Z14[46-k, 52k, 68-k], канонический (k=6) и неканоническиеk=1, 2, 3, 4, 5. Для них символ в квадратных скобках (тот же, что и для выведенных полиэдров – полостей) обозначает количество вершин, в которых сходятся по 4, 5, 6 ребер, а симметрия определяется соответствующей таблицей инцидентности. При одном и том же kдва полиэдра Z14[46-k, 52k, 68-k]  могут обладать одной и той же точечной группой симметрии, и будут различаться только (определяемыми в рамках алгебраической геометрии) таблицами инцидентности. Это наглядно демонстрирует ограниченность классической кристаллографии и возможности развиваемого подхода.

 

Выводы

1. Выделена система конструкций алгебраической геометрии: решетка векторов Е8, группа Матье М12, система Штейнера S(5, 6, 12) и код Голея G12, которая позволяет априори определять графы особого класса простых 24-вершинных 14-гранных полиэдров с 4-,5-и 6-угольными гранями. Впервые выведен граф полиэдра данного класса, который обладает одной 4-угольной гранью и не является параллелоэдром.

2. Впервые показано, что существуют особые полиэдры (кластеры) или объединения полиэдров (кластеров), которые являются структурными реализациями таких конструкций алгебраической геометрии как код Голея и плоскость Мёбиуса (инверсная плоскость)

3. Выведены возможные в интерметаллидахнеканонические 14-вершиные полиэдры Франка-Каспера Z14[46-k, 52k, 68-k], которые при одном и том же kмогут обладать одной и той же точечной группой симметрии и различаться только в рамках алгебраической геометрии.

Авторы выражают глубокую признательность М.И. Самойловичу за интерес к работе и стимулирующие обсуждения Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 09-03-00740 а) и программы ОХНМ РАН ОХ-О6.

 

Списоклитературы.

1. Walsh M.R., Koh C.A., Sloan E.D., Sum A.K., Wu D.T. Microsecond Simulations of Spontaneous Methane Hydrate Nucleation and Growth //Science. 2009. V.326 №.5956, P.1095 - 1098 .

2. Kostant B. The graph of the truncated icosahedron and the last letter of Galois  //Notices of the AMS , 1995, vol. 42, no. 9, pp. 959-968.

3. Конвей Дж. Слоэн Н. Упаковки шаров, решетки и группы. Т.1. М.: Мир, 1990. 415 с.

4. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966. 648 с.

5. Delgado Friedrichs O., O'Keeffe M. Isohedral simple tilings: binodal and by tiles with 16 faces //Acta Cryst. A. 2005. V.61. P.358-364.

6. Lijnen E., Ceulemans A., Fowler P.W., Deza M. The undecakisicosahedral group and a 3-regular carbon network of genus 26 //J. of Math. Chem. 2007.V42, №3. P.617-644.

7. Самойлович М.И., Талис А.Л. Основы теории симметрии наноструктурных состояний. М.: ЦНИТИ "Техномаш", 2006. С. 10-238.

8. Gabbrielli R. A new counter-example to Kelvin's conjecture on minimal surfaces // Phil. Mag. Lett. 2009. V.89. P. 483-491.

9. Самойлович М.И., Талис А.Л. Газогидраты: скрытые симметрии  и локальные фазовые превращения – ключ к пониманию закономерностей строения полиэдральных тетракоординированных структур //Наука и технология. 2010. №4. С. 41-55.

10.  Brown E. The Fabulous (11, 5, 2) Biplane //Mathematics magazine 2004. - V.77. - P.87-99.

11.Картеси Ф. Введение в конечные геометрии. М.: Наука, 1980. 320 с.

12. Kraposhin V.S., Talis A.L., Dubois J.-M. Structural realization of the polytope approach for the geometrical description of the transition of a quasicrystal into a crystalline phase// J. Phys.: Condens. Matter. V. 14(2002) 8987- 8996.

13. Kraposhin V.S., Talis A.L., Wang Y.J. Description of polymorphic transformations of Ti and Zr in the framework of the algebraic geometry // Materials Science and Engineering A. – 2006. – V.438-440. – P.85-89.

14. Крапошин В.С., Сильченков А.Д. Кристаллографический механизм перлитного превращения в системе железо-углерод// Проблемы черной металлургии и металловедения. -2009.-№2.-С.55-64.

15. Веселов И.Н., Талис А.Л., Ронова И.А., Терещенко Г.Ф. Молекулярно-динамическое моделирование фазового перехода газогидрат I – лед // Молекулярное взаимодействие и конформации молекул : Тезисы докладов XV Всероссийского Симпозиума. Петрозаводск, 2010. С. 69.


Тематические рубрики:
Поделиться:
 
ПОИСК
 
elibrary crossref ulrichsweb neicon rusycon
 
ЮБИЛЕИ
ФОТОРЕПОРТАЖИ
 
СОБЫТИЯ
 
НОВОСТНАЯ ЛЕНТА



Авторы
Пресс-релизы
Библиотека
Конференции
Выставки
О проекте
Rambler's Top100
Телефон: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)
  RSS
© 2003-2017 «Наука и образование»
Перепечатка материалов журнала без согласования с редакцией запрещена
 Тел.: +7 (915) 336-07-65 (строго: среда; пятница c 11-00 до 17-00)